数学归纳法练习题

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1、精品文档数学归纳法练习题一、选择题1.用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,在第二步时,正确的证法是A.假设n=k,证明n=k+1命题成立B.假设n=k,证明n=k+1命题成立C.假设n=2k+1,证明n=k+1命题成立D.假设n=k,证明n=k+2命题成立解析:A、B、C中,k+1不一定表示奇数,只有D中k为奇数,k+2为奇数.答案:D1112.用数学归纳法证明“1+++?+k不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项数是A.2k1B.2k-1-C.2kD.2k+1解析:增加的

2、项数为-=2k1-2k=2k.++答案:C3.n+n下:当n=1时,1+12016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创19/19精品文档∴当n=k+1时,不等式成立,则上述证法A.过程全部正确B.n=1验得不正确C.归纳假设不正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确解析:在n=k+1时,没有应用n=k时的假设,不是数学归纳法.答案:D4.用数学归纳法证明“n2+3+3能被9整除”,要利用归纳假设证n=k+1时的情况,只需展开A.B.3C.D.3+3解析:假设当n=k时,原式能被9整除,即k2+3

3、+3能被9整除.当n=k+1时,3+3+3为了能用上面的归纳假设,只需将3展开,让其出现k3即可.答案:A5.用数学归纳法证明不等式11113n≥2,n∈N*)的过程中,由n=k递推n14n+1n+2到n=k+1时不等式左边1A.增加了一项2?k+1?2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创19/19精品文档B.增加了两项11、k+12k+21C.增加了B中两项但减少了一项k+1D.以上各种情况均不对111111解析:∵n=k时,左边=+?+,n=k+1时,左边=+?+k2kk+1k+2k+

4、2k+311+,k+12k+2111∴增加了两项,少了一项2k+12k+2k+1答案:C二、填空题6.若f=12+22+32+?+2,则f与f的递推关系式是_____.解析:∵f=12+22+?+2,∴f=12+22+?+2+2+2;∴f=f+2+2.答案:f=f+2+21111113111117.观察不等式:1>1++>1,1++1+++?+>2,1+223237223152315>,?,由此猜测第n个不等式为________.12111n解析:3=22-1,7=23-1,15=24-1,可猜测:1++?+

5、232-12111n答案:1++?+232-128.已知整数对的序列如下:,,,,,,,2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创19/19精品文档,,,,,?,则第60个数对是________.解析:本题规律:2=1+1;3=1+2=2+1;4=1+3=2+2=3+1;5=1+4=2+3=3+2=4+1;?;一个整数n所拥有数对为对.设1+2+3+?+=60,?n-1?n∴=60,∴n=11时还多5对数,且这5对数和都为12,12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7,∴第60个数对为

6、.答案:9.如下图,在杨辉三角形中,从上往下数共有n行,在这些数中非1的数字之和是________________.111111111??解析:所有数字之和Sn=20+2+22+?+2n1=2n-1,除掉1的和2n-1-=2n2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创19/19精品文档--2n.答案:2n-2n三、解答题10.试证:当n∈N*时,f=32n2-8n-9能被64整除.+证明:证法一:当n=1时,f=64,命题显然成立.假设当n=k时,f=32k2-8k-9能被64整除.+当n=k

7、+1时,由于32+2-8-+=9+9·8k+9·9-8-9=9+64,即f=9f+64,∴n=k+1时命题也成立.根据、可知,对于任意n∈N*,命题都成立.证法二:当n=1时f=64命题显然成立.假设当n=k时,f=32k2-8k-9能被64整除.+由归纳假设,设32k2-8k-9=64m,+将32k2=64m+8k+9代入到f中得+f=9-8-9=64,∴n=k+1时命题也成立.根据知,对于任意n∈N*,命题都成立.111.已知数列{an}的各项都是正数,且满足:a0=1,an+1=n·.证明:an2016

8、全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创19/19精品文档证明:证法一:用数学归纳法证明:13当n=0时,a0=1,a1=a0a0假设n=k-1时命题成立,即ak-1则当n=k时,ak-ak+1111=ak-1-ak=2-221=.而ak-1-ak0,所以ak-ak+111又ak+1ak[4-2]由可知,对一切n∈N时有an证法二:用数学归纳法证明:13当n=0时,a0=1,a1=a001

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