2015-2014第一学期高数A期中测试试题标答.pdf

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1、上海第二工业大学（试卷编号：）2011-2012学年第一学期期中考试高等数学（A）试卷标答一、填空题（每格3分，共15分）f()1.[10,1)(1,2)2.efba3.xx1;04.10!.二、选择题（每题3分，共15分）1.C;2.B;3.A;4.C;5．D三、求极限（每题7分，共28分）21.limxx1xx22xx1xx1lim(3)lim(4)xxx2211xxx2112.limxx0xe1xxxe1x

2、e1e1lim(2)lim(2)lim(2)(1)xxxxxxx0xe1x0e12xex0eexe1sinx3.求lim()xx0x1xsinxxsinxxcosx1sinxsinxxsin22limlim20lim(11)xlim(1)xxx(3)ex0x(2)ex0xe1(2)xx00xx11ln13x4.设limfx存在，且fxxsinsinx2limfx，求fxx0xx2xx01

3、1ln13x设limfxA,fxxsinsinx2A(1分)x0xx2x11ln13xlimfxlimsinxlimsinxlim2limA(2分)x0x0xx0xx02xx031所以A012AA((3分)2211ln13x即fxxsinsinx1(1分)xx2x第1页四、求导数或微分（每题7分，共21分）21.设yfx(aa),为常数,其中fx()存在,求dy及y22yfx(a)2,xdyfx(a)2

4、xdx(3)222y4xfx(a)2(fxa)(4)22xtln1dydy2.设，求、.2ytarctantdxdx11122dy1t2tdy21t(3)(4)dx22tt24dx2t2211ttx1sinx3.设yx+x,(x1)，求yx1x1sinx设yyy,yx,yx,yyy(1分)121212x1111111lny11lnxln(x1)lnx1y2yx2x1x11

5、x11111yx(3分)1x1x2x1x11sinxlnysinlnxxycoslnxx22yx2yxsinxcoslnxxsinx(3分)2xyxx11111+xsinxcoslnxxsinx(1分)x1x2x1x1x五．解答题（每题7分，共14分）cosxx01.设fx()在x0处可导，求ab,.axbx0cosxx0解:因为fx()在x0处可导必连续axb

6、x0lim()fxlimaxbb,lim()fxlimcosx1所以lim()fxlim()fxf(0)b1x0x0x0x0xx00(3分)第2页fx()f(0)ax11fx()f(0)cosx1fa(0)limlim,fa(0)limlim00xx00xxxx00xx(4分)2.求曲线xylny1在点（1，1）处的切线方程1解：方程两边对x求导:yxyy0y2yx11y即kyy1xy

7、121则切线为y1x1即x2y302六．证明题（本题7分）设函数fx()在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)可导，且f(0)0，f(1)1，证明：（1）存在(0,1)，使得f()1；（2）存在两个不同的点、(0,1)，使得ff()()1(利用零点定理和拉格朗日中值定理加以证明)证明：（1）gx()fx()x1,由fx()在01，上连续，有gx()在01，上连续，且gg(0)-10,(1)10.由零点定理，存在（01，），使得

8、g()f()10，即f()1-.(3分)（2）由fx()在[0,1]上连续，在(0,1)可导，又(0,1)，有fx()在[0,]和，1上分别满足Lagrange中值定理，则存在(0,)，使得f()01f()，(2分)存在(1)，，使得ff(1)()f()，(1分)11－－ff()()1(1分