数学建模作业——实验1.doc

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1、数学建模作业——实验1学院：软件学院姓名：学号：班级：软件工程2015级GCT班邮箱：电话：日期：2016年5月10日基本实验1.椅子放平问题依照1.2.1节中的“椅子问题”的方法，将假设中的“四腿长相同并且四脚连线呈正方形”，改为“四腿长相同并且四脚连线呈长方形”，其余假设不变，问椅子还能放平吗？如果能，请证明；如果不能，请举出相应的例子。答：能放平，证明如下：如上图，以椅子的中心点建立坐标，O为原点，A、B、C、D为椅子四脚的初始位置，通过旋转椅子到A’、B’、C’、D’，旋转的角度为α，记A、B两脚，C、D两脚距离地面的

2、距离为f(α)和g(α)，由于椅子的四脚在任何位置至少有3脚着地，且f(α)、g(α)是α的连续函数，则f(α)和g(α)至少有一个的值为0，即f(α)g(α)=0，f(α)≥0，g(α)≥0，若f(0)＞0，g(0)=0，则一定存在α’∈（0，π），使得f(α’)=g(α’)=0令α=π（即椅子旋转180°,AB边与CD边互换），则f(π)=0，g(π)＞0定义h(α)=f(α)-g(α)，得到h(0)=f(0)-g(0)＞0h(π)=f(π)-g(π)＜0根据连续函数的零点定理，则存在α’∈（0，π），使得h(α’)=f(

3、α’)-g(α’)=0结合条件f(α’)g(α’)=0,从而得到f(α’)=g(α’)=0，即四脚着地，椅子放平。1.过河问题依照1.2.2节中的“商人安全过河”的方法，完成下面的智力游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米之一，而当人不在场时，猫要吃鸡、鸡要吃米，试设计一个安全过河的方案，并使渡河的次数尽量的少。答：用=,,,分别代表人，猫，鸡，米。在此岸，在对岸，此岸状态，对岸状态。安全状态集合为:S=1，1，1，1,D=(0，0，0，0)S=1，1，1，0,D=(0，0，0，1)S=1，1，0，1

4、,D=0，0，1，0S=1，0，1，1,D=0，1，0，0S=1，0，1，0,D=1，0，1，0S=0，1，0，1,D=0，1，0，1S=0，1，0，0,D=1，0，1，1S=0，0，1，0,D=1，1，0，1S=0，0，0，1,D=1，1，1，0S=0，0，0，0,D=(1，1，1，1)乘船方案，记作，当在船上时记，否则记，允许决策集合为因为乘船为奇数时船从此案驶向彼岸，为偶数时船由彼岸驶向此岸，所以状态随决策变化的规律为，设计安全过河方案归结为求决策，使状态按转移律由初始状态经有限步到达状态。根据题设条件:影响安全渡河的元

5、素是猫、鸡、米，这3个元素中取2个元素的组合一共有C32=3种，分别为猫+鸡，猫+米，鸡+米。其中“猫+鸡”和“鸡+米”组合不安全，而“猫+米”的组合是安全的。第一次渡河需带3个元素中的1个元素，另外2个元素留在岸上，而留在岸上的3种组合中只有“猫+米”的组合是安全的，可见第一次渡河只能带鸡，即安全方案只有U=(1，0，1，0)，第二次将米或者猫带到对岸，把鸡带回，第三次将猫或者米带到对岸，第四次将鸡带过河，至此，猫、鸡、米均安全过河。具体有2种执行方案如下：上述方案直观表示如下：1.购房贷款问题（续）在1.2.3节“购房贷款

6、”的问题中，我们讨论了小王夫妇借贷还贷的方式。现进一步讨论此问题。某借贷公司的广告称，对于贷款期在20年以上的客户（利率仍按06%/月计算），他们帮你提前3年还清贷款。但条件如下：（1）每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款额的1/2；（2）因为增加必要的档案、文书等管理工作，因此，要预付给借贷公司贷款总额10%的佣金。试分析，小王夫妇是否要请这家借贷公司帮助还款。答：设每月还款额为x，利率r,贷款额A0，总还款月数为N，总还款额为X。若贷款20万，20年期，则：x=A0r(1+r)N1+rN-1=20

7、0000×0.006(1+0.006)2401+0.006240-1=1574.7元X=x×N=1574.7×240=377928元若请这家借贷公司还款，则还款总额X1=x(N-3×12)+10%A0=1574.7×204+20000=341238.8元但小王夫妇预付给借贷公司20000元的佣金，如果把这20000元作为首付，则小王夫妇只需贷款18万，则总还款额：X2=X(1-10%)=340135.2元还款月数：N2=X2÷x=340135.2÷1574.7=216月=18年X1＞X2，小王夫妇不需用借贷公司还款。1.冷却定

8、律按照Newton冷却定律，温度为T的物体在温度为T0(T0