数学建模作业——实验1

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1、数学建模作业——实验1学院：软件学院姓名：学号：班级：软件工程2015级GCT班邮箱：电话：日期：2016年5月10日基本实验1.椅子放平问题依照1.2.1节中的“椅了问题”的方法，将假设中的“四腿长相同并且四脚连线呈正方形”，改为“四腿长相同并且四脚连线呈长方形”，其余假设不变，问椅子还能放平吗？如果能，请证明；如果不能，请举出相应的例了。答：能放平，证明如下：如上图，以椅子的中心点建立坐标，0为原点，A、B、C、D为椅子四脚的初始位置，通过旋转椅子到A，、L,旋转的角度为Q,记A、B两脚，C、D两脚距离地面的距离为f(a)和g(a),由于椅子的四脚在任

2、何位置至少有3脚着地，且f(a)、g(a)是Q的连续函数，则f(a)和g(a)至少有一个的值为0,即f(a)g(a)二0,f(a)20,g(a)^0,若f(0)>0,g(0)=0,则一定存在a'丘(0,Ji),使得基本实验1.椅子放平问题依照1.2.1节中的“椅了问题”的方法，将假设中的“四腿长相同并且四脚连线呈正方形”，改为“四腿长相同并且四脚连线呈长方形”，其余假设不变，问椅子还能放平吗？如果能，请证明；如果不能，请举出相应的例了。答：能放平，证明如下：如上图，以椅子的中心点建立坐标，0为原点，A、B、C、D为椅子四脚的初始位置，通过旋转椅子到A，、L

3、,旋转的角度为Q,记A、B两脚，C、D两脚距离地面的距离为f(a)和g(a),由于椅子的四脚在任何位置至少有3脚着地，且f(a)、g(a)是Q的连续函数，则f(a)和g(a)至少有一个的值为0,即f(a)g(a)二0,f(a)20,g(a)^0,若f(0)>0,g(0)=0,则一定存在a'丘(0,Ji),使得f(a')二g(a')二0令a=n(即椅子旋转180。，AB边与CD边互换)，贝ljf(n)=0,g(n)>0定义h(a)=f(a)-g(a),得到h(0)=f(0)-g(0)>0h(n)=f(n)-g(ji)<0根据连续函数的零点定理，则存在a'e(

4、0,n),使得h(a')二f(a')-g(a')二0结合条件f(a')g(a')二0,从而得到f(a')二g(a，)二0,即四脚着地,椅子放平。1.过河问题依照1.2.2节中的“商人安全过河”的方法，完成下面的智力游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划Z外，至多能载猫、鸡、米之一，而当人不在场时，猫要吃鸡、鸡要吃米，试设计一个安全过河的方案，并使渡河的次数尽量的少。答：用2,3,4分别代表人，猫，鸡，米。X.=1在此岸，X-=0在对岸，s-(/],x2,x3,勺)止匕岸状态，〃=(1一小,1一也,1一占，1_勺)对岸状态。安全状态集合为：'S=二(1,1

5、,1,S==(1,1,1,S==(1,1,0,S==(1,0,1,S==(1,0,1,S==(0,1,0,S==(0,1,0,S==(0,0,1,S==(0,0,0,

6、={(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),(1,0,0,0)}因为乘船力为奇数时船从此案驶向彼岸，k为偶数时船市彼岸驶向此岸，所以状态》随决策乞变化的规律为叹+1=S&+(-设计安全过河方案归结为求决策仇,〃2,…，乞eU,,使状态®e5按转移律由初始状态S]=(1,1,1」)经有限步〃到达状态巧+i=(0,0,0,0)o根据题设条件:影响安全渡河的元素是猫、鸡、米，这3个元素中取2个元素的组合一共有强二3种，分别为猫+鸡，猫+米，鸡+米。其中“猫+鸡”和“鸡+米”组合不安全，而“猫+米”的组合是安全的。第一次渡河需带3个元素中的1个

7、元素，另外2个元素留在岸上，而留在岸上的3种组合中只有“猫+米”的组合是安全的，可见第一次渡河只能带鸡，即安全方案只有U二(1,0,1,0),第二次将米或者猫带到对岸，把鸡带回，第三次将猫或者米带到对岸，第四次将鸡带过河，至此，猫、鸡、米均安全过河。具体有2种执行方案如下:k1234L5678Sk(1,1,1,1)(0,1,0,1)(1,1,0,1)(0,1,0,0)(1,1,1,0)(0,0,1,0)(1,0,1,0)(0,0,0,0)Lk(1,0,1,0)(1,0,0,0)(1,0,0,1)(1,0,1,0)(1,1,0,0)(1,0,0,0)(1,0

8、,1,0)k123456r*8Sk(1,1,1,1)(0,1,0,