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《2015数学建模作业实验2》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、姓名:雷锋答:(1)该二阶微分方程可用一个二元微分方程组来表示,该方程组的解就是,故(0,0)点为微分方程的平衡点;在分析方程的稳定性之前,先分析线性微分方程组的稳定性,将线性方程组写成,其中,,,因为,故(0,0)是其唯一平衡点。设,可知特征值,由于,,将计算结果对照课件中表2.1(平衡点与稳定性的各种情况),可知(0,0)点是不稳定的。绘出自治系统相应的轨线,并标出随t增加的运动方向,如下图所示:(1)该二阶微分方程可用一个二元微分方程组来表示,该方程组的解就是,故(0,0)点为微分方程的平衡点;在分析方程的稳定性之前,先分
2、析线性微分方程组的稳定性,将线性方程组写成,其中,,,因为,故(0,0)是其唯一平衡点。设,可知特征值,由于,,将计算结果对照课件中表2.1(平衡点与稳定性的各种情况),可知(0,0)点是不稳定的。绘出自治系统相应的轨线,并标出随t增加的运动方向,如下图所示:(1)该二阶微分方程可用一个二元微分方程组来表示,该方程组的解就是,故(0,0)点为微分方程的平衡点;在分析方程的稳定性之前,先分析线性微分方程组的稳定性,将线性方程组写成,其中,,,因为,故(0,0)是其唯一平衡点。设,可知特征值,由于,,将计算结果对照课件中表2.1(平
3、衡点与稳定性的各种情况),可知(0,0)点是不稳定的。绘出自治系统相应的轨线,并标出随t增加的运动方向,如下图所示:(1)该二阶微分方程可用一个二元微分方程组来表示,该方程组的解就是,故(0,0)点为微分方程的平衡点;在分析方程的稳定性之前,先分析线性微分方程组的稳定性,将线性方程组写成,其中,,,因为,故(0,0)是其唯一平衡点。设,可知特征值,由于,,将计算结果对照课件中表2.1(平衡点与稳定性的各种情况),可知(0,0)点是稳定的。绘出自治系统相应的轨线,并标出随t增加的运动方向,如下图所示:答:(1)营养的浓度能达到平衡
4、。(2)已知,令;当时,得到的N为平衡解;故(3)它是稳定的因为当时,且;当时,且,如下图所示,在处稳定。答:根据题意设在t时刻,病菌数量为,病菌增长率为,死亡率为,当时,;由此可以建立微分方程,如下所示令,当时,计算其平衡点,下图画出了的符号取值范围和的变化趋势;根据题意可知,细菌数量N不可能小于0,当时,,当时,;因此,根据图示可以判断,是稳定的,不是稳定的。答:令,计算时的平衡点;得到平衡点,;计算;分别将和带入后得到由此可以判断出平衡点处是稳定的,平衡点是不稳定的;由于,且;计算;当时,,因此可知在曲线的零点位置,其切线
5、斜率为r;已知,故必存在平衡点;令,计算得到;将其带入,可得;将和带入;计算可得最优捕捞率答:根据题意可知渔场鱼量自然增长的模型,减去相应的捕捞量后的鱼量为;这里并不需要解方程以得到x(t)的动态变化过程,只希望知道渔场的稳定鱼量和保持稳定的条件,即时间t足够长以后渔场鱼量x(t)的趋向,并由此确定最大持续产量.为此可以直接求方程的平衡点并分析其稳定性令,计算其平衡点;计算,将带入后得到,,故平衡点是稳定的。这说明只要捕捞适度,就可以让渔场的鱼量稳定在,应用图解法:、由图可知,当h(x)和g(x)在的顶部相交时,可以获得最大的持
6、续产量。令,得到稳定时的平衡点;带入到中,得到将带入到,计算保持渔场鱼量稳定在的捕捞强度为答:该二阶微分方程可用一个二元微分方程组来表示;将该二元微分方程组展开并整理得到方程组如下所示:计算该方程组,求得平衡解如下:1、对于平衡点,由于计算得到,由于,,故且由定理2.2可知,平衡点是不稳定的。(1)对于平衡点,由于带入平衡点可得,已知,,如果,那么得到且。根据定理2.2可知,当且时,平衡解是稳定的,则当时,。(2)对于平衡点,由于带入平衡点可得,已知,,如果,那么得到且。根据定理2.2可知,当且时,平衡解是稳定的,则当时,。(3
7、)用图形分析方法解释上述情况:由于平衡点是不稳定的,故只考虑对于线性方程组在平面上代表2条直线和,其中和分别对应如下:::上式中和代表直线在平面图横轴和竖轴的坐标;和代表直线在平面图横轴和竖轴的坐标。当纵坐标为0时,计算得,;当纵坐标为0时;第一种情况:令且,得到,将第一区域分为3个部分,如图所示:在区域I中,,,即随着t的增加而增加,并且当经过直线时,有,所以,即切线是垂直的,也就是说,相轨曲线是以垂直方向进入到区域II。在区域III中,,,即随着t的增加而减少,并且当经过直线时,有,所以,即切线是水平的,也就是说,相轨曲线是
8、以水平方向进入到区域II。在区域II中,,,即随着t的增加而减小,随着t的增加而增加,最终趋于0,最终趋于。第二种情况:令且,得到,将第一区域分为3个部分,如图所示:在区域I中,,,即随着t的增加而增加,并且当经过直线时,有,所以,即切线是水平的,也就是说,相轨