示范教案(223 向量数乘运算及其几何意义).doc

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1、2.23向量数乘运算及其几何意义整体设计教学分析向量的数乘运算，其实是加法运算的推广及简化，与加法、减法统称为向量的三大线性运算.教学时从加法入手，引入数乘运算,充分展现了数学知识Z间的内在联系.实数与向童的乘积，仍然是一个向量，既有大小，也有方向.特别是方向与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理.共线向量定理是本章节屮重要的内容，应用相当广泛，且容易出错.尤其是定理的前提条件:向最a是非零向量.共线向量定理的应用主要用于证明点共线或平行等几何性质，且与后续的知识有着紧密的联系.三维目标1.通过经历探究数乘运算法则及儿何意义的过稈

2、，掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义，掌握实数与向量的积的运算律2.理解两个向量共线的等价条件,能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行.3.通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法，培养创新能力和积极进取精神.通过解决具体问题，体会数学在生活屮的重要作用.重点难点教学重点:1.实数与向量积的意义2实数与向量积的运算律.3.两个向量共线的等价条件及其运用.教学难点:对向量共线的等价条件的理解运用.课时安排1课时教学过程导入新课思路1•前面两节课，我们一起学习了向量加减法运算,这一节，我们将在加法运算

3、基础上研究相同向量和的简便计算及推广.在代数运算屮,a+a+a=3a,故实数乘法可以看成是相同实数加法的简便计算方法，那么相同向量的求和运算是否也有类似的简便计算.思路2.—物体做匀速直线运动,一秒钟的位移对应的向量为a,那么在同一方向上3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？怎样用图形表示？由此展开新课.推进新课新知探究%1已知非零向量越,试一试作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a).%1你能对你的探究结果作出解释，并说明它们的几何恵义吗？%1引入向最数乘运算示，你能发现数乘向量与原向量Z间的位置关系吗?怎样理解两向最平行？

4、与两肓线平行有什么异同？活动:引导学生冋顾相关知识并猜想结果，对于运算律的验证，点拨学生通过作图来进行.通过学生的动手作图，让学生明确向量数乘运算的运算律及其几何意义.教师要引导学生特别注意0・a=0,而不是0沪0.这个零向最是一个特殊的向最，它似乎很不起眼,但又处处存在，稍不注意就会出错，所以要引导学生正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系.实数与向量可以求积，但是不能进行加、减运算，比如X+aA-a都无法进行.向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似，只是数乘运算的分配律有两种不同的形式:(九+p)a=k+$和也+b戸皿+也

5、数乘运算的关键是等式两边向量的模相等，方向相同.判断两个向量是否平行(共线)，实际上就是看能否找出一个实数，使得这个实数乘以其中一个向量等于另一个向量•一定要切实理解两向暈共线的条件，它是证明几何屮的三点共线和两肓线平行等问题的有效于段.对问题①,学生通过作图1可发现,OC=

6、3a

7、=3

8、a

9、.同样，由图1可知,0ABC—a—a—aNMQP图1PN=PQ+QM+MN=(-a)+(-a)+(-a)

10、,即(-a)+(-a)+(-a)=3(-a).显然3(-a)的方向与a的方向相反,3(・a)的长度是a的长度的3倍,这样,3(・a)=・3a.对问题②，上述过程推广后即为实数与向量的积.我们规定实数九与向量上的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘,记作加，它的长度与方向规定如下：(1)

11、Xa

12、=

13、X

14、

15、a

16、;⑵当20时加的方向与a的方向和同;当X<0时加的方向与a的方向相反.由⑴可知,20时,Xa=0.根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律.实数与向量的积的运算律设九、卩为实数，那么⑴Upa)=(九咖；(2)(九+咖=冶+

17、』；(3)X(a+b)=)va+kb.特别地，我们有(-X)a=^Xa)=X(-a),X(a-b)=Xa-Xb.对问题③，向量共线的等价条件是:如果琥時0)与b共线，那么有且只有一个实数九，使b=M.推证过稈教师可引导学生白己完成，推证过稈如下:对于向量a(a丸)、b,如果有一个实数九，使b=k,那么由向量数乘的定义，知a与b共线.反过来，己知向量a与b共线，畔0,且向量b的长度是向最a的长度的p倍，即b

18、=』a

19、,那么当a与b同方向时，有b=ya;当a与b反方向时，有b=-(.ia.关于向量共线的条件，教师要点拨学生做进一步深层探究

20、，让学生思考,若去掉aHO这一条件，上述条件成立吗?其目的是通过0与任意向量的平行来加深对向量共线的等价条件的认识.在判断两个非零向量是否共线时，只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可，与这两个向量的长度无关.在没有指