§223向量数乘运算及其几何意义

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1、§2.2.3向量数乘运算及其几何意义一、学习目标1.掌握向量数乘运算，并理解其几何意义；2.理解两个向量共线的含义；掌握向量的线性运算性质及其儿何意义.二、学习重难点学习重点：掌握向最数乘运算，并理解其几何意义学习难点：两个向量共线的含义三、课而自学双基问题1：已知非零向量a,作出：①a+a+a；②(-°)+(-町+(-°)・通过作出图形,同学们能否说明它们的几何意义？C11、一般地，我们规定是一个向量，这种运算称做向量的数乘记作2:,它的长度与方向规定如下：(1)IXaI二;(2)当时，跖的方向与方的方向相同；

2、当时，兀的方向与方方向和反,当时，Aa=do问题2：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.请同学们解释它们的几何意义.2、向最数乘运算律，设入“为实数。(1)二(2)(A+-(3)+—(4)(一=(6)对于任意向量Q,b,任意实数几、“、仏恒有兄(“方+“①二问题3：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间有什么位置关系？3、两个向量共线(平行)的等价条件：如果a(a0)与乙共线，那么四、典型例题题型一、有关向量的运算例1、化简：(1)5(3a-2i)+4(2i-3a)；(2)6(a—3〃+c)—4

3、(—a+〃一c)；(3)(x—y)(a+b)—(x—y)(a—b).分析：用向量数乘运算律.解析：(l)5(3a—2〃)+4(2〃一3a)=15a—10方+跖一1加=3a—2反(2)6(q—3〃+c)—4(—a+〃一c)=6a~^b+&+4«—4〃+心=10«—2历+10匚(3)(x—y)(a+b)—(x—y)(a—b)=(x—y)(a+b—a+b)=2(x—y)b.点评：关于向量的运算要遵循向呆数乘运算律进行化简.变式练习1.已知a=al+2e2,b=3el—2e2,求a+b,a—b与3a—2b.解析：Va=

4、el+2e2,b=3e-2e2f:.a+b=(el+2e2)+(3el-2e2)=4elfa—b=(e+2e2)—(3e—2e2)=—2e+4e2,3a—2〃=3(e1+2e2)—2(3el—2e2)=—3e+10^2.题型二、向量的共线问题例2、设刃，边是两个不共线

5、nj.m,已知乔=2el+辰2,丽=刃+3边，⑧=2el—el,若三点B,D共线，求上分析：由CB=e{+3e2,cb=2e{-e2>求得丽=CD-CB=ex-4e2.因为/、B、Q三点共线.所以乔与丽存在数量关系.解析：•:CB=ex+

6、3e2,CD=2ex-e2,••BD=CD一CB=(2ej一s)一(0i+3e2)=e、一4e2.因为/、B、Q三，虽共线.・•・存在久，使得晶=久竝>,艮卩2e1+ke2=A(e【一4^2)，解得上=-8.点评：待定系数法是解决两向量平行的重要工具，适用于两个向量平行的判定定理中实数的确定.变式练习2.己知任意两个非零向量引、血不共线，如果乔=2©+3%，氏=6°+23勺，3)=401-8%，求证：力、B、D三点共线.分析：欲证/、B、D三点共线，只需证笳与繭共线即可.证明：'：AD=AB+BC+CD=2e+

7、3^2+6引+23%+4®■8血=12创+18^2=6(2^1+3^2)=6AB>・・・向量玄)与乔共线又向量近)与冠有共同的起点/,・・・/、B、D三点共线.题型三、向量在几何中的应用例3、在c>ABCD中，设对角线花=a,BD=b试用a,b,表示AB,BC.分析：由向量的平行四边形法则知AC=AB^BC,BD=AD-AB=BC-AB.解析：由AC=AB+BC.BC+AB=a.BC-AB^b,解得乔=点评：任何一个向量乔都可以写成乔=予-色，其中C为平面内任一点，其差的先后顺序可简记为“后减前”•反之则可以消去

8、字母C,但需注意向量的方向，即指向被减向量的终点，简记为“后指向前”.变式练习3.已知平行四边形4BCD的対角线AC^BD相交于O,且OA=a,OB=b.用向量a、方分别表示OC.OD.DC.BC.分析：冼与鬲共线且反向，Ob与旋共线且反向,DC=OC-OD,BC=OC-OB.解析：如图所示，扌艮据平行四边形的性质有，OC=-OA=-a,OD=-OB=-b,DC=OC-OD=-a_b)=-a+b,BC=OC~OB=-a~b.题型四、三角形重心及三角形中线所在向量性质例4、在△MC中，D为BC边上的中点,求证：A

9、D=^(AB+AC).证明：证法一：AD=AB+BD,AD=AC+CD又。为中点，:.Bb+CD=0.即云)=£(乔+AC).证法二：延长/D至&使DE=AD、又BD=DC,:.四边形ABEC为平行四边形..AE=AB+AC,^AE=AD+DE,AD=DE,:.AD=^(AB+AC).点评：（1）若点D是线段BC的中点，则乔=*乔+花）,这是三角形中线所在向量的性质作为