矩阵分析试卷3答案.doc

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1、第三套题答案一、已知好（1,2丄0）丁,冬=（—1,1^=（2,-1,0,1/,02=（1，73,7）丁求span｛a｝,冬｝与卯卅几,几啲和与交的基和维数。解：因为span{a^a2}+卩叭/3小「=ipan{ax,a2./3^l52}由于秩｛0,闵，久禹｝0且a、，s卩、是向量组久冬，久禹的一个极大线性无关组,所以和空间的维数是3,基为%3。设span{a]ya2}rspan{}于是由交空间定义可知§=kg+3产1+/2a此即o解之得何二-以厂4側于是§=R

2、Q

3、+他冬=厶[-5,2,3,4/,所以交空间的维数为1,基为卜5,2,3,47'a10_二、证明：Jordan块

4、J（a）=0a100aa£0这里£HO为任意实数。相似于矩阵oae0067证明：由于容易求出两个久-矩阵的不变因子均为1,1,"-。尸,~a10_aE0从而这两个几-矩阵等价，于是矩阵丿⑷二0a1与0a£006700aMM1)相似・三、求矩阵力-10120的-40(l)Jordan标准型;(2)变换矩阵P;(3)计算灯00o解(1)Jordan标准型为(2)相似变换矩阵为(3)由于P-'AP=J,P=<1-1i200、-111°丿因此A"=PJ“P-',容易计算'-1990100<°=2O1-21002,00一101+2k-4000201100•四、验证矩阵4=I0"0解：v/L4h=

5、AhA=I0是正规阵，并求酉矩阵"，使为对角矩阵。0?‘2000<0,是正规矩阵，QI—i

6、AE-A

7、=-1a0=2(才+2)，令

8、兄£一川=0得特征根:-i0A人=0,入=V2z,心=-y/2i当入=0时，解得特征向量为：e=(0,i,l)J当人=血时，解得特征向量为:c（2=（迈，-iN,当人=-血「时9解得特征向量为:a?=（近,匚,-）丁;显然久爲,0,正交，将它们分别单位化得："（%%）,叫=（空,-％,%）,叮（乡,％,-%）令<000、U="血-％%得［/〃2=0Q0'迈%-X<00-V2/：丿五、已知A是Hennit矩阵，且Ak=0"为自然数），试证：A=0o证明：因

9、为4是H纫加矩阵，所以存在酉矩阵C/使得20…0、0Z•••0UAUh=心.，（其中&为A的特征根，且为实数）••••••••,00…兀'人0…0、龙0…0'a=uh0入…0••••••••••••U；从而A0刖…0••••••••••■•u=o；<00…人丿<00…尤丿所以人=心=…=入=0故A=0f0、24六、验证矩阵A=1702i丄0<42>为单纯矩阵，并求A的谱分解。解：因为A-AE—X24——A2=—2'+32+2=—(2+1)2(2—2)所以得特征要分别为：人.2=74=2当A=-l时，求得线性无关的特征向量分别为0=(-2,1,0人$=(—4,0,1几当2=2时，求得线性

10、无关的特征向量分别为购=(°，2,1)所以“122、T(11163-3612121122111263366111221、1263」i333恥4齐瓠爲=(-越-馬几于是A的投影矩阵为G]=(x、0：+aiPi=G2==2_亍£71112£32_313>432304323012122_亍16830丄亍故A谱分解表达式为A=-G[+2G2o232_3£32_亍23>七、讨论下列矩阵無级数的敛散。8；（2）》k=l.20.50.10.5丿;(3)^c0-1001-1解：(1)7f=l,p(A)=3，・・・Rv/?(A),・•.发散;(2)

11、

12、a

13、L=o.7,v

14、

15、a

16、L

17、1000、fc=l0(-l)k0hk1*=1KytlTSk2・・・9个级数£硝）都收敛,・・・该矩阵幕级数收敛.八、设側©，…心）与（久02,…Q）是实数域/?上的线性空间V的两组基，且（01，禹,・・・,0“）=（0©2,•••，%）»,又对任意的底V有x=购,…，劣）/X工2■■•=(0卩02,…，0”)/、5y2■■■;a=Z兀2■■■，B=Z、■■■厲丿证明：（I）H=H是V中的向量范数;（2）当P是正交矩阵时，有H=

18、

19、

20、

21、x

22、

23、=M2是v到r的映射;a（非负性）：若"0.则而阀2是向量范数，因此M=M2>®；当且仅当x=0^a=0,而0=0当且仅当

24、阀

25、2=0

26、・（2分）；〃（齐次性）：

27、

28、^x

29、

30、=

31、

32、^a

33、

34、2=

35、A：

36、

37、a

38、

39、2=旳制,（2分）；C（三角不等式）：Vx.〃匕设■■■■=(01，02,…，0")y■■•；of=•,0=J1/丿2////K丿1儿丿K丿1儿丿则卜+d=k+別2MI创2+肉2=HI+IWI・(2分)；tt

40、

41、x

42、

43、=

44、

45、4是v中的向量范数.证(2):阀l2=l

46、P0h=j(P0)气财)=(0T("卩)0=J卩丁0=\^

47、

48、2-九、已知矩阵计算顶o1A=-