矩阵分析试卷05(答案)

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1、命题人：吴明芬__审批人：__________试卷分类（A卷或B卷）_______五邑大学试卷课程：_矩阵分析_专业：_电子、交通、机械研究生学号：_________学期：05至06学年度第_一_学期姓名：________得分：_____一．设三阶方阵，，求W的维数与基。（8分）解：W的维数是5，一组基为四．设方程组如下（8分）用系数矩阵的LU分解求解方程组，要写出矩阵L，U。五．证明对任意的矩阵，若定义，则

2、

3、

4、

5、是一种矩阵范数，但不是算子范数（从属于向量范数的矩阵范数）。（10分）证明：由定义显然知（1）；

6、（2）（3）设则（4）设则共页第4页所以

7、

8、。

9、

10、是矩阵范数下面说明它不是算子范数。如果它是算子范数，则存在某个向量范数，使得，但是对单位矩阵而言，左边

11、

12、E

13、

14、=n，右边=1，矛盾。六．设V为数域P上的二维线性空间，为V的一组基，线性变换T在基下的矩阵是。（1）计算T在基下的矩阵。（2）求。（12分）解：设V为数域P上的二维线性空间，为V的一组基，线性变换T在基下的矩阵是。（1）计算T在基下的矩阵。（2）求。八．求矩阵的Jordan标准形。（8分）共页第4页解：九．求微分方程组满足初始条件的解。，，设，得，，

15、，，十。求到自身的一个线性变换及其在某个基下的矩阵，使得的像Im包含向量,而的核Ker由向量生成.又,这样的线性变换是否唯一?为什么?解设题中给出的三个向量依次为a1，a2，a3。取的一组基为。构造到自身的一个映射为：，再将线性拓展到整个上。则是满足题意的一个线性变换。共页第4页上述线性变换显然不是唯一的（实际上有无穷多个）：比如，将上面的线性变换第一个基元素的像与第二个基元素的像对调，即可得一个新的满足题意的线性变换。原因在于除去k（k是任意复数）的像（＝0）确定外，其与相邻的像不是完全确定的。十一。复数域C

16、是实数域R上的2维线性空间.试定义C上的一个内积,使得1与成为C的一个标准正交基；并求的长度.解对任意xj+yjiÎC，j=1,2,有xj+yji=(xj-yj)·1+yj·(1+i)。为使1与成为C的一个标准正交基，必要且只要<1,1+i>=0，<1+i,1+i>=1，<1,1>=1,必要且只要=(x1-y1)(x2-y2)+y1y2.上式定义了一个C上的内积：对称性与正定性是显然的；且由于该内积还是x1，x2，y1，y2的二次型，故双线性性质也成立。在上述内积下，向量x+yi的

17、长度等于[(x-y)2+y2]1/2;因此1－i的长度为51/2.十二。设，求。解IA的Jordan标准形与过渡矩阵分别为。因此解2利用A的最小多项式(x-1)2.可知必有一次多项式f(x)=ax+b,使得f(A)即为所求。由a+b=f(1)=与a=f’(1)=可知b=.于是共页第4页