矩阵分析第3章习题答案

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1、第三章1、已知是n阶正定Hermite矩阵，在n维线性空间中向量定义内积为（1）证明在上述定义下，是酉空间；（2）写出中的Canchy-Schwarz不等式。2、已知，求的标准正交基。提示：即求方程的基础解系再正交化单位化。3、已知试求酉矩阵，使得是上三角矩阵。提示：参见教材上的例子4、试证：在上的任何一个正交投影矩阵是半正定的Hermite矩阵。5、验证下列矩阵是正规矩阵，并求酉矩阵，使为对角矩阵，已知，6、试求正交矩阵，使为对角矩阵，已知，1、试求矩阵，使（或），已知，2、设n阶酉矩阵的特征根不等于，试证：矩阵满秩，且是Hermite矩阵。反之，

2、若是Hermite矩阵，则满秩，且是酉矩阵。证明：若，观察知为的特征值，矛盾，所以矩阵满秩。，要，只要故由知为H的特征值。由Hermite矩阵只能有实数特征值可得，即满秩。3、若分别是实对称和实反对称矩阵，且，试证：是酉矩阵。证明：1、设均是实对称矩阵，试证：与正交相似的充要条件是与的特征值相同。证明：相似矩阵有相同的特征值。与正交相似与的特征值相同。若与的特征值相同，又均是实对称矩阵。所以存在正交阵Q，P使其中为正交阵。2、设均是Hermite矩阵，试证：与酉相似的充要条件是与的特征值相同。证明：同上一题。3、设均是正规矩阵，试证：与酉相似的充要条

3、件是与的特征值相同。同上4、设A是Hermite矩阵，且，则存在酉矩阵，使得5、设A是Hermite矩阵，且，则存在酉矩阵，使得。6、设A为正定Hermite矩阵，B为反Hermite矩阵，试证：与的特征值实部为0。证：A为正定Hermite矩阵，为满秩的。，是反Hermite矩阵，反Hermite矩阵的特征值实部为0,所以的特征值实部为0。7、设均是Hermite矩阵，且A正定，试证：与的特征值都是实数。证明：同上题。，，是Hermite矩阵，Hermite矩阵的特征值为实数,所以的特征值是实数。8、设A为半正定Hermite矩阵，且，试证：。证明

4、：A的特征值为，矩阵的行列式等于特征值之积。特征值为，1、设A为半正定Hermite矩阵，，B是正定Hermite矩阵，试证：。证明：，为满秩的。为半正定Hermite矩阵，由上题，2、设A为正定Hermite矩阵，且，则。证明：存在，。又，3、试证：（1）两个半正定Hermite矩阵之和是半正定的；（2）半正定Hermite矩阵与正定Hermite矩阵之和是正定的。提示：考查4、设A是正定Hermite矩阵，B是反Hermite矩阵，试证：A＋B是可逆矩阵。提示：A为正定Hermite矩阵，为满秩的。是反Hermite矩阵，特征值实部为0,，所以5

5、、设A，B是n阶正规矩阵，试证：A与B相似的充要条件是A与B酉相似。证明：充分性，酉相似相似。必要性，A，B是n阶正规矩阵，，又A与B相似,与的特征值相同,可设，6、设，试证：总存在，使得是正定Hermite矩阵，是负定Hermite矩阵。提示：A的特征值为，则的特征值为7、设A是正定Hermite矩阵，且A还是酉矩阵，则。提示：1、设A、B均为正规矩阵。且，则与均为正规矩阵。提示：用Ｐ１５０定理，可以同时酉对角化。2、设，试证：是酉矩阵。提示：3、设A为n阶正规矩阵，为A的特征值，试证：的特征值为。提示：，，所以的特征值为4、设，试证：（1）和都是

6、半正定的Hermite矩阵；（2）和的非零特征值相同。提示：（1）（2），特征值的重数也相同，参见P1915、设A是正规矩阵，试证：（1）若（为自然数），则；（2）若，则；（3）若，则。6、设，求证以下三条件等价：　（1）为正规矩阵　（2）　（3）解：（1）（2）由。（2）（3）,由（2）（1）,由31、设，则A可以唯一的写为，其中为Hermite矩阵。且A可以唯一的写为，其中B是Hermite矩阵，C是反Hermite矩阵。解：设，其中为Hermite矩阵，则。。唯一性（略）