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1、1-14试证：kkm×nn×mtr()()AB=∈trBA,,,ACB∈Ck=11,22,"证：mnnm⎛⎞⎛⎞tr()ABa=∑∑⎜ikkib⎟=∑∑⎜⎟bajllj=tr()BAik==11⎝⎠jl==11⎝⎠ktr()AB=tr(()ABAB"AB))k=tr()BABAB()"A=tr()BA2-2设ε≠0，证明：n阶矩阵⎡⎤a1⎡⎤aε⎢⎥⎢⎥a%a%A=⎢⎥与B=⎢⎥⎢⎥%1⎢%ε⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦a⎣a⎦相似。nDD12()λ==()λλ"Dn−1()1,=Dan()(λ=λ−)2-3n阶矩阵⎡⎤a1⎡a1⎤⎢⎥
2、⎢⎥a%a%A=⎢⎥与B=⎢⎥⎢⎥%1⎢⎥%1⎢⎥⎢⎥⎣⎦a⎣⎦εa不相似。ε≠0nAD:()()12λλ==D"Dn−1()1λ=,Dan()(λλ=−)nBD:()()12λ==Dλλ"Dn−1()1=,Dan()(λ≠λ−)2-7(4)求方阵⎡308⎤⎢⎥A=316−⎢⎥⎢⎣−205−⎥⎦的Jordan标准形及其相似变换矩阵P。解：首先用初等变换法求其Jordan标准形：⎡⎤λ−308⎡⎤100⎢⎥⎢⎥λλIA−=31+−601λ+0⎢⎥⎢⎥2⎢⎥⎣⎦20500λλ++⎢⎥⎣⎦()1故A的初等因子为2λ+1,(()
3、λ+1)从而A的Jordan标准形为⎡−100⎤⎢⎥J=−011⎢⎥⎢⎣001−⎥⎦再求相似变换矩阵：−1设所求矩阵为P，则PAPJ=，P按列分块记为PXXX=[123,,]于是有AP==AXXX⎡⎤⎣⎦,,⎡⎣AXAXAX,,⎤⎦123123⎡⎤−100⎢⎥=PJ=−⎡⎤⎣⎦XXX,,011123⎢⎥⎢⎥⎣⎦001−=−⎡⎤⎣⎦XXXX,,−−1223从而可得AXXA=−,,XXA=−XXX=−1122323整理以后可得三个线性方程组()0IAX+=1()0I+AX=2()IAXX+=32前面的两个方程为同解方程组，可以
4、求出它们的一个基础解系：TTαα12=[0,1,0,]=−[2,0,1]可以取X11=α，但是不能简单地取X22=α,这是因为如果X选取不当，会使得第三个非齐次2线性方程组无解。由于α,α的任意线性组合都是前两个方程组的解，所以12应该取Xkk21=α12+α2使得第三个非齐次方程有解，即其系数矩阵与增广矩阵有相同的秩，容易计算出其系数矩阵的秩为1，从而应该使得增广矩阵[IAX+,2]的秩也为1。即⎡4082−k⎤2⎢⎥⎡⎤⎣⎦IAX+=,306k21⎢⎥⎢⎥⎣⎦−204−k2容易看出只需令kk==323,−2就会使得上述
5、矩阵的12秩为1，于是TX212=−=324αα[,3,2−]再由第三个方程解出一个特解为TX3=[1100,0,0]那么所求相似变换矩阵为⎡041⎤⎢⎥PXXX==[],,130123⎢⎥⎢⎥⎣⎦020−3-13设A是Hermite矩阵且2则存在3-13设A是Hermite矩阵，且AA=,则存在酉矩阵U使得⎡⎤I0HrUAU=⎢⎥⎣00⎦A是Hermite矩阵，所以存在酉矩阵U使得HUAU=diag(,,,)λλλ"12n22AA=,λλ=,i=121,2,."nii设秩(A)=r特征根有r个1，(n-r)个0.调整U的
6、列向量(特征向量)的顺序，使得前r个对应特征值1.3-15设A是一个正定的H-阵,B是一个反H-阵,证明AB与BA的特征值实部为零.证明:设λ为矩阵AB的任意一个特征值,那么有λIA−=B0.由于A是一个正定H-阵,所以存在可逆矩阵Q使得HA=QQ将其代入上面的特征多项式有H0=−=−λIABλIQQBHH−11HHH−=−λQQ()QQBQQ()HHH−1=−QIQλBQQ()H=λIQBQ−H这说明λ也是矩阵QBQ的特征值.另一方面注H意矩阵QBQ为H-反阵,从而λ实部为零.同样可以证明另一问.3-23设A是Hermi
7、te矩阵，证明：总存在t>0>0,使得A+tI是正定矩阵，A-tI是负定矩阵。λλ()(AtI+++=At)+iiλλ()(A−tI=−A)tii取则t>max{λλλ12,,"n},A+tI是正定矩阵，A-tI是负定矩阵.3-27设mn×证明HH都是3-27设AC∈,证明：AA,AA都是HH半正定矩阵,且AAAA,的非零特征值相同.HHHHHmxAAxAxAx=()≥∈0,xC半正定HnHHyAAyA=≥(yA)y0,y∈CHHHHHAAAxxA=→λAx=λAx(0Ax≠,iiH否则AAx=λx===0,→λ0,或x0
8、,矛盾)iiHλ是AA的非零特征值,x是对应于λ的特征向量,iiHH则λ也是AA的特征值,Ax是对应于λ的特征ii向量.设λ代数重数为pp,则几何重数也为.iii设xx,0"线性无关是对应于,,λ≠的特征向量ii1piiHH则Ax,,"Ax也线性无关.ii1piHHH(kAx++kAx"+=kAx011
