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1、1、若矩阵A=B=000010231225101203031214的满秩分解为a=bc9c=解：由初等行变换知:B=00001023101203031214（）o0010000丄21010-100320011-10（）002]_2-10323200丄~232-10102312250112（pW=C=]_2]_213*2320~232-1-10-4飞+七+2兀5-~0~x2一2xs0ai=(-L0,1,0,0)T,a2=(0,0,0,1,0)丁，％=(-2,2+10-1_「10_久—1—100[z/—A]
2、=02-10T02-10T0A-10402-3_00(2-3)(久+1)+400(H)2知A的初等因了为(九一1),(九一1)2,故A的最小多项式为卩(2)=(九—1)—3、设aJ1°1°2L则w(4)的一个标准正交基为21202■X.■■10102X]+兀3+2x5021202兀32x,+兀2+2兀3+2x50■■兀4■■等价于解：rh于加=而其解空间的一个基为2,0,0,1)T对其作标准止交化即得其一个标准止交基为(-1/V2,0,1/V2,0,0)T,(0,0,0,1,0)T,(-1/V?,2/V
3、?,-1/V?,0,1/V?)T4、设e严；,e2=;<=；，牛；为/的两个基，T为F的线性变换，且则)=［；］%；)£］,则T在基弓灼下的矩阵为解:由于T(ebe2)=(ebe2)(ebe2)4T((eie25)(ef,e29)1(e【,e2)),知所求矩阵为A=(ebe2)-1T((e「，e2,)(e1ef)4(ebe2))=(ebe2)_1T(eie2,)(eiel,)_1(ebe2)5、101323051S=2，冬=1,。4=52216设e,W=span[6Z),tz2,,1212013
4、305215216则dim解：由于（a】a2121203220-20-10000，知dimW=3o1「311r11]-1-1一—0_L—L—1113211121355112220_21_13_201-121MB12_2031_2_55JL22J1i06、矩阵A=3o1的1一范数为
5、州=112i解：州=max{lll+l引+111,IzI+lOl+lll,lOl+lll+12/l)=5dx二、设兀w/?”为向量形变量,A=eRnxn为常矩阵，求o(10解:分）-4三、设4=13解:A+4由于
6、>i/-a
7、
8、=-1-3102-3-600=(2-1)2(2+2),故有单根一2A-1討山d^x1Ax)=/山[空(]0Ax)*(/0*)西]de"dxdxudxzdx=exTAx[InAx+(人®*)(In®A)^]="[Ar+(InIn)®(xTA)半]dxdx=exTAx[Ax+(xTA)T]=exTAx(A+Al)x=2exTAxAx-10030,求sinAo(10分)61和重根lo设与sinA在A的谱上一致的多项式为P（久）=q+/U+c护,则有sinl=^+bl+cl2cos1=b+2clsin(-2)=
9、a+b(—2)+c(-2)2a=—(8sin1-6cos1-sin2)解得<方二*(2sinl+2sin2+3cosl)c=~(sin2-sinl+3cos1).2sinA=aI+hA+cA=a「10o-■-4-100_■-4-100_010+b130+c130001_361_361_10■■0_-4-100_~610()_010+b130+c-1-10001_361_-3-613sin1+sin23sin1+sin235sinl+2sin232(sinl+sin2)sinl四、设凤,
10、
11、机分别为对应两
12、向量范数
13、
14、%
15、XV1Bx
16、L的算子范数，其中B可逆，证明:制彳BAA卜（10分）证明：IIaII=max11xteAx亠max怦丁maxBAB五、设>4=A77eC/,xw,证明：A止定的充分必要条件是存在可逆矩阵QeCnxn,使得A=QhQo（10分）证明：市于心屮丘严且A正定，故有酉矩阵P使A=Pdiag（右，久2,・・・,入1）戶日其中石忌…入为正数，故A=Pdiag（阿，疑，…，站）diag（丽，込，…,頁）卩只IBQ=diag（扬，疑，…，娠）PH,则Q可逆且A=QHq。反之，若有可逆矩阵
17、Q使A=Q^Q,则对任意非零向量兀,xiAx=xiQuQx=（Qx）hQx>0,即A正定，最后的不等号是因为x非零Q可逆，故5非零，从而x^Ax=（Q兀）hQx>0o六、设^AB=BA9线性变换T（x）=Bx,xeCn9证明：A的特征子空间是厂的不变子空间。（10分）证明：设X为任一属于A的相应于特征值久特征的特征子空间的向量，即Ax=ax,贝ljAT(x)=ABx=BAx=BAx=ABx=aT(x),故T(x)也属于A的相应于2的特征空间
