《矩阵分析》习题及答案

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1、"1r%or2=jr•OfJ■•】n■.11-.01.Lio】L例1・6试证：在疋^中矩阵6=在6心2・6.6下的坐标•110

2、1J[abl线性无关•并求a=」Lcd」解；设k.a,^k2a2^kza3+/r4a4=0k.~ir+居"11"+b、•1O'.1bLo1J.10・•1h码+妇+札+b対+為+-広+▲)+处h+妇十觥・于是&1+&2+5+広=0'觥+*2+“3=0觥+妇+札=0.人+人+人=0解之得広=免=打=怎=0故5,a?・匕4线性无关•设ab=4•ir+丁2"ir+心jr+©"1(T-1I-Lcd」-1uLoi-uoJ"Tl+兀+心+乙丁]

3、+乞+心，•丁,+勺+艾才I+孔+及」于是X)+工2+Ms+=a，4+才2+丁3=b工

4、+丁3+工4=C,丁

5、+才2+N4=d解之得r{=/>+c+d—%.i*2=a—cx3=a—d^x^—a—bTi・业,心,才4即为所求之坐标・例1・14役M是俺线性空耐的-个线性变换■对某个花y有"《)利,肿(F)=o,试证)「”?«)•域性无关.证职设/■F+M(FW(D+・“+W《)“①用从左縣①式两琳由肿(F)丸可編"(F)=0因为/弋)押所以E代人①式可得3(F)+)+■・・+厶”《)=o②用於臥左縣②式两站由"(20可得后0,齡下去,可得/产”日卜严0,于是f

6、X(F)3(F)严3l(f)线性无关.例1.15若九维线性空间中线性变换•”使得对于V中的任何向竝&都有-旷'*(eHO)_”・(g)工0,求3在某一基下的矩阵表示.解：由M1.14可知"个向蜃EHO,u/(g)“"2(E)・・•・•线性无关，它是V的一个基.又由”[€),・・・,、"•■[(£)]=[&($)♦・・・,、&"($)]=)・・・・，&•-«),o]00—0o'10…00・3(g),"(g)♦•••1"T(F)]0•1••・■00■♦■••■■••■00…00.0o•••I0.所以3在F,3(F),・"(§),・・—/*

7、阶矩阵000o-10•••0001•••00e••■•■■■■•■00•••0000I0评注：刃维线性空间v中任何一组九个线性无关的向量组都可以构成v的一个基，因此g3($几"($)•・・・,&I⑴)是V的一个基.例1.23设少是线性空间疋【：的线性变换，它在用中基52”如下的矩阵表示是*123_A=—103■一215.<1)求3在基^<5，似=5+6，0产6*6+6下的拒阵表示・(2)求&在«aPa2,a3下的核与值域.解：(1)由题意知/[aHa2.a3j=[5，a?・crj4■iir[A*A»A3=[如心心]oil.ooi_设、w在基ft，良,A下的

8、矩阵表示是乩则*11r-1・I2J"11rB丄PlAP=011...103011.001--215一.00I.44Q——3—4-6238-(2)由于

9、A

10、"故AX=O只有零解•所以，"的核是零空间•由维数定理可知、玻的值域是线性空间Q于是1-12.解:(1)由题意知•一110"[alta2,ar3]=[岛疋?疋訂10]-1-11J♦aj=[a】・a”ajA[£

11、#2“j]=[6,623]11(T01一11-J=J1■•J,=ai心1•■■■Zj•・・1■例2.8已知"=为正整数〉.证明M与对角相似.证明：只要证明A的每一个Jordan块都是一阶的•那么与对

12、角矩阵相似•设A的Jordan标准形为那么存在相似变换矩阵P使得P*AP=J.因此J*=P~AkP=E其中•一11-r=〔6.a—6〕01-1.101.—[ai.CTz.aJP-11一rP二01一1・101.于是有故丿,必为一阶子块，即s=m所以A与对角矩阵相似.即为所求过渡矩阵•设B是线性变换少在基&卍2，£3下的矩阵表示•即qT旬心心］=［航•旬•&3“于是110'B=PUP=220.302.(2)由于方程组AX=0的基础解系是所以3的核子空间N⑷=spang,—q+aj=span<2.2・3]丫}•"的值域R(A)=5pan{・"(a】)・&(a?)

13、,・>Z(6)}=span^CTj+a?—a3ta2+2cr4>—6十3务}■span{[0t0*—1]T>[1>2tl]Tf[l2]t>=span{[0f0»l]T«[lt2t0]T}2—6证明：设的Jordan标准形为且存在可逆矩阵P使1a」d,xd.1-16•设人是矩阵A的任一持征值•其对应的特征向龟为a.即冇4cr=Aa,那么有Aa=A:a»又AZ=E,于是可得(F—1)a=0,注意到cr护0,从而有卩=1,因此4的特征值只可能是+1或者一1.1-17・方法同上.1-18・证明：设可逆矩阵A的待征值为入，对应的特征向琶为a,则Acr=Aa,从而A*

14、Aa=A*(Aa),即Ea=A/r】a・因此Ala=寺a.所以4的