12、2^
13、
14、a
15、
16、f
17、
18、x
19、
20、2x«wIL=（E闰2）5-4解：（1）A“=,故limAa发散。(2)A的特征值人*0.9V1,故A*收敛，且limA*=OoRT8⑶A*00.9*00k0.9k~l0.9*由于limO.9A=0,limO.9'-
21、1=0RT8故A*收敛，且limAa=RT8⑷由于
22、
23、A
24、L=0.9<1,A*收敛,且limA'=0ATX5-3解：取a=(LO<--,O)z,设x=(西,兀2,…，£)丁，则/=!范数是矩阵理论的一个重要概念，在许多方面有广泛应用。5-5解：由于
25、AE-A
26、=(A-
27、)(/l--)(A--)=0,所以A有三个不同特征值3人二丄，人=丄,厶二丄。p(A)<1且A可以相似对角化，即存在可逆矩阵P,使得23于是00P~]00limA*=POP1=0kT85-6解：由于
28、AE-A
29、=a-5)(A+r)2=0,所以A有三个特征
30、值人=5,入=入=又A为实对称矩阵，于是一定存在可逆矩阵P使得_500_1-1-TA=P0_10p',p=11000-1101显然p(A)=5o那么p-'1P(A)厂1从而lim(—A/=PkF/?(A)5-7解：因为级数1+兀+/+.・・+?•…的收敛半径为1,而
31、
32、A
33、L=O.9<1,故矩阵幕级数E+A+A~+…+A”…绝对收敛。5-8解：因llAIL=0・9V1。故P(A)<1。由定理知所求矩阵幕级数的和是(E-A)T。I大I0.8E-A=-0.1-0.5-0.10.5-0.32210T~73125T142-0.
34、2-0.4().82(E-A)-1=11于是221()7731257143522E+A+A’+…+A*…=115・9解：首先求得Re—A
35、=(/l+l)2=0,即有两个特征值人=入=一1于是A的谱半径001p(A)=l。而幕级数工：A"的收敛半径RT,所以只能用定义来验证其敛散性。求出k=lk矩阵A的Jordan标准形J及可逆矩阵P且使得pAP=J=_1*,A'=PJ'P1_o_i.对于矩阵幕级数8[OO1(沖wk=Kk=lRoooo工(-1严k=y(-l/hk容易看岀上式右端只有数项级数£(-1/-1是发散的，尽
36、管其余位置的数项级数收敛，也«=
37、导致此矩阵幕级数发散。“1k对于矩阵幕级数丈占A'P(工討“肝k=l人k=lK'y(-l)©ay(-1/-1Hky(-l/hk2oo由于幕级数工丄*，其收敛半径为/?=l=p(A)。只能用定义来判断，即*=ik丈右A'P(工尹肝k=l人k=lK'y(-l)©ay(-1/-1右ky(-l/容易看出上面的矩阵序列屮四个位置元素所构成的数项级数均收敛，从而矩阵帚级数g1工厶A*也收敛。5-10解：(1)根据题意得匕［0“1人k181y-由于数项级数£丄收敛，乞丄发散，故此矩阵幕级数发散。女=
38、1k"k=}k（2）根据题意得灯-旷(-1/.hk&二（-}k由于数项级数工¥“Ik匕匚都收敛，故此矩阵幕级数收敛（不是绝对收敛）。OOZk*=1K（3）根据题意的oo冷°'-1上=1K00(-1/R(-1严(-1)0”1)(-1严2(-1/<(一1)hk2y(-iry(-i)右k2丄£匕!(_1严2台khkY(-l/hk2L_1由于数项级数工一（-I）"?发散。k=kOO故此矩阵幕级数发散。（4）根据题意得OO工丄0(-1)00"1)1(-1/8由于数项级数0y(-D^hky(-l/hk2二（-Y二（-Y工工
39、都收敛，故此矩阵幕级数收敛（不是绝对收k=kk=lk敛）。5-11解：（1）幕级数的收敛半径/?=1,X
40、AE-A
41、=（/l--）a--）2o所以Ar=i62的特征值为人二入二;，&二;，从而A的谱半径p（A）二;VR。于是矩阵幕级数262收敛。k=OO（2）由于工=（1一兀尸。所以fc=OQ>y=（i-兀尸，工严=（i-兀尸
