矩阵第4章答案.doc

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1、第四章习题解答1.证明：实对称矩阵的所有特征值在区间上的充要条件是对任何,是正定矩阵；而对任何,是负定矩阵.证：因为为实对称矩阵，所以存在正交矩阵，使得，其中特征值.,所以对于知为正定矩阵；知为负定矩阵.2.设,都是实对称矩阵,的一切特征值在区间上,的一切特征值在区间上.证明:的特征值必在区间.证：设,的特征值分别为，，又因为,为实对称矩阵，所以,为Hermite矩阵，由定理18知，的特征值，.有.即3设是酉矩阵，，证明的特征值满足不等式，其中，，.证：因为是酉矩阵，所以，又因为，所以由Browne定理知，的特征值满足不等式而，，所以

2、.4．用圆盘定理证明至少有两个实特征值.证:的4个盖尔圆为,,,,它们构成的两个连通区域部分为,,易知与都关于实轴对称,因为实矩阵的复特征值必成对共轭出现,所以中含有的一个特征值,而中至少含有的一个实特征值,因此中至少有两个实特征值.5参见课本135页中的例1.6用圆盘定理估计的特征值和的谱半径,然后选取一组正数对的特征值作更细的估计.解:的3个特征值在它的2个盖尔圆,得并集中,且.因为矩阵有相同的主对角元素，所以，无法通过选取正数给出更精细的估计.7证明的谱半径.证:因为不可约,且,所以由定理15知.8.证明的谱半径.证:因为,且,

3、所以.9．举例说明：（1）在有两个盖儿圆构成构成的连通部分中，可以在每一个盖儿圆中恰有一个特征值.（2）不一定每个盖尔圆中必有一个特征值.解：（1）如，故，（2）如，故，10.应用Ostrowski定理（或推论），证明的谱半径.证:因为;;;.所以有定理2的推论2可得11．设，满足则（1）可逆；（2）证：（1）因为为严格对角占优矩阵，由定理4知，可逆。（2）设，作则有所以盖儿圆盘，又.又并且与单位圆相外切，故矩阵的特征值的模均大于1，所以，即所以成立.12若奇异，则存在某个，使.证：反证法若对任意的，均有，则为严格对角占优，即非奇异，

4、这与奇异矛盾.13设可逆，为特征值，则.证：设的特征值为，对应的特征向量为，则.因为,，所以.又因为，同理可得.所以成立．15.设实对称阵和的特征值分别是和,若对单位向量,恒有,则证:设的属于的标准正交向量系为,的属于的标准正交向量系为.设可得.同理可得，因此16.（Weyl定理）设实对称矩阵，和的特征值分别是，，，则.证:设的属于的标准正交向量系为,的属于的标准正交向量系为,设可得所以