第1章 矩阵及其运算.doc

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1、第1章矩阵及其运算§1.1矩阵的概念矩阵是线性代数研究的主要对象之一.英国数学家凯莱(A.Cayley,1821-1895)被公认是矩阵论的创立者.1858年，他发表《矩阵论的研究报告》一文，定义了矩阵相等、矩阵运算法则、矩阵转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，这可以看作矩阵作为数学研究对象和研究内容的标志.什么是矩阵？如何定义矩阵的关系与运算？矩阵的概念最简单的表述是：由个数构成行、列的矩形数表即为行列的矩阵.其数学表达为：设是个数，将其排成行、列，构成矩形数表，称为行、列矩阵，也称为阶矩阵.通常用大写

2、字母、、等表示.也用符合表示上述矩阵.称为矩阵第行第列的元素，为矩阵第()行，为矩阵的第()列.数集上阶矩阵的全体记作.矩阵作为一种工具，它在工程技术、通讯技术、信息传输、图象识别、经济等领域中有着广泛的应用，这也促使矩阵理论成为了线性代数的主要内容.下面我们给出几个实例.例1.1安徽省是我国重要的煤炭基地之一，境内的淮南矿业、淮北矿业、皖北煤电矿业等集团公司年生产能力在亿吨水平.其产品除自给外，主要供应上海、浙江、江苏等地.假设各矿业集团均生产甲、乙两种等级的煤，我们以记集团供应给销地甲级煤的年销售量

3、(单位：万吨)，以记集团供应给销地乙级煤的年销售量(单位：万吨)，以记销地购买集团甲级煤的价格(单位：万元/万吨)，以记销地购买集团乙级煤的价格(单位：万元/万吨)，则上述数据我们可以简洁的用数表表示如下：表1.1甲级煤销量图表集团销地本地上海浙江江苏淮南淮北皖北表1.2乙级煤销量图表集团销地本地上海浙江江苏淮南淮北皖北表1.3甲级煤销售价格销地集团淮南淮北皖北本地上海浙江江苏表1.4乙级煤销售价格销地集团淮南淮北皖北本地上海浙江江苏表1.1至表1.4实际上就是一个矩形数表，其分别对应的就是3行4列和4

4、行3列的矩形，即我们可以用矩阵分别将其简单的表示如下：，，，，依据、的符号意义，应为集团供应给销地的煤总量，其对应的矩形表格为：表1.5煤炭销售总量图表集团销地本地上海浙江江苏淮南淮北皖北表1.5用矩阵表示即为：.显然，表1.5是表1.1和表1.2的汇总.我们也称矩阵为矩阵与矩阵的和.用数学符号表示即为：.即.取矩阵的第行的元素，取矩阵的第列的元素，将其对应位置元素相乘并相加，得数记为，即，，.以为元素，可以定义一个阶的矩阵.在矩阵中，元素，，的实际意义分别是淮南、淮北、皖北矿业集团销售甲级煤炭的总收入

5、.而的实际意义则是三大集团公司销售甲级煤炭的年总收入.我们称其为矩阵的迹，记作，即.同样，取矩阵的第行的元素，取矩阵的第列的元素，将其对应位置元素相乘并相加，得数记为，即，，.以为元素，也可以定义一个阶的矩阵.在矩阵中，元素，，的实际意义分别是淮南、淮北、皖北矿业集团销售乙级煤炭的总收入.的实际意义则是三大集团公司销售乙级煤炭的年总收入.由矩阵和矩阵按上述法则所确定的矩阵称为矩阵与的乘积，记为.同样，矩阵则是矩阵与的乘积，记作.例1.2某股份公司生产四种产品，各种产品在生产过程中的生产成本以及在各季度的

6、产量分别由表1.6和表1.7给出.表1.6产品生产成本(单位：万元/吨)产品消耗原材料劳动力经营管理0.50.80.70.650.81.050.90.850.30.60.70.5表1.7各季度产量(单位：吨)季度产品春夏秋冬90001050011000850065006000550070001050095009500100008500950090008500在年度股东大会上，公司总裁准备用一个简单的数表向股东们介绍所有产品在各个季度的各项生产成本，各个季度的总成本，以及全年各项的总成本.假设你就是这个公

7、司的“总裁”，你如何来制作这个表格？解：表1.6是一个3行4列的数表，用矩阵表示为，表1.7是一个4行4列的数表，用矩阵表示为.在矩阵中取消耗品对应的行，取矩阵中季节对应的列，将其相应位置元素对应相乘并相加，则可以得到某种消耗品的在某个季节的总消耗成本.例如：取矩阵的第一行与矩阵的第一列，将其对应位置元素相乘并相加，即所得就是春季原材料的总成本.也就是说：将矩阵与相乘，即得到各种消耗品在各个季节消耗的总成本.将矩阵各行元素相加，即分别得到原材料、劳动力、经营管理的全年总成本，分别是：90225、1231

8、75、72100万元.取一个4行1列的矩阵，将积矩阵与矩阵相乘，得到一个3行1列的矩阵，其元素分别为矩阵各行元素之和.即.取一个1行3列的矩阵，将矩阵与矩阵相乘，得到一个1行4列的矩阵，其元素即为矩阵的各列元素之和，即.而矩阵、、的乘积是一个1行1列的矩阵，其元素为矩阵所有元素之和，也就是全年的所有消耗的总成本，即.将上述计算所得数据绘制成表1.8，此表格可直观反映出本公司全年消耗成本的总体情况.表1.8成本汇总(单位：万元)春夏秋冬全年原