第2章 矩阵及其运算

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1、第二章矩阵及其运算一、矩阵的概念与几类特殊方阵（一）矩阵及相关概念1.矩阵个数排成行列的表格称为矩阵，简记或，若，则称是阶矩阵或方阵2.0矩阵如果矩阵中所有元素都是0，则称为零矩阵3.同型矩阵矩阵=，，，，则称与同型矩阵4.矩阵相等同型矩阵，即对应的元素都相等5.方阵的行列式对于方阵，其元素可构造阶行列式★★，由，得不到(二)几类特殊方阵1.单位矩阵主对角线上的元素全是1，其余元素均为0的阶段方阵，称为阶单位矩阵，记；；需要强调阶数的时候，为2.对称矩阵设是阶矩阵，如，即★实对称矩阵一定能对角化3.反对称矩阵设是阶矩阵，

2、如，即，★若、是同阶的（反）对称矩阵，则，，也是（反）对称矩阵，但不一定是（反）对称矩阵4.对角矩阵设是阶矩阵，如对角矩阵记为；同阶的对角矩阵的和差、积仍然是对角矩阵5.逆矩阵设是阶矩阵，如存在阶矩阵，使，则称是可逆矩阵，是的逆矩阵，的逆矩阵唯一记为★★6.正交矩阵设是阶矩阵，如，则称是正交矩阵，；是一个被单位化的矩阵★★7.伴随矩阵设是阶矩，则由行列式的各元素的代数余子式所构成的阶矩阵★★称为的伴随矩阵，记为记得转置8.合同矩阵两个阶实对称矩阵和，如存在可逆矩阵，使得，则称矩阵、合同，记作；任一实对称矩阵必合同于一个对

3、角矩阵；两个合同的充分条件：实对称矩阵的充分条件是相似；两个合同的充要条件是相同的正负惯性指数；两个合同的必要条件是秩相同9.相似矩阵设是阶矩阵，如存在可逆矩阵，则称矩阵与相似，记为，相同的特征值、秩、迹、行列式，具有传递性、其逆矩阵、转置矩阵都相似10.矩阵的等价设是矩阵，则存在阶可逆矩阵，阶可逆矩阵，使得，等价标准型；引入了秩的概念11．行阶梯矩阵、行最简形矩阵、初等矩阵（单位矩阵经过一次初等变换，均可逆）二、矩阵的运算（一）矩阵的线性运算1.矩阵的加法设是两个矩阵，则矩阵称为矩阵的和2.矩阵的数乘设是矩阵，是一个常

4、数，则矩阵称为数与矩阵的数乘，记作3.矩阵的乘法设是矩阵，是矩阵，那么矩阵其中，称为与的乘积，记为（1）矩阵的乘法一般没有交换律，只有与可交换，即可有（2），，不能推出；，不能推出或；应联想到中的每一列都是齐次方程的解，若，则齐次方程有非零解，（3）矩阵乘法不具有消去率，对于，以下两种情况消去率成立：①若，且矩阵可逆，则；（每一列都是0向量）只有零解②若，且的列数，则；（4），，不能推出，若是矩阵，秩，命题成立（二）关于逆矩阵的运算规律（三）关于矩阵转置的运算规律★★★★（四）关于伴随矩阵的运算规律★★★★矩阵与伴随矩阵

5、秩的关系可逆，则；；（五）关于分块矩阵的运算法则区别于行列式的运算★★二次型可能会涉及到★★特征值、相似可能会涉及到★★★★区别于副对角线矩阵求行列式（6）如果，其中是矩阵，是矩阵，那么①对矩阵、行分块；可得的行向量可由的行向量线性表出；②对矩阵、列分块；可得的列向量可由的列向量线性表出★★三、矩阵可逆的充分必要条件阶方阵可逆，等价于1.存在阶方阵，有2.3.★4.，其中是初等矩阵★5.列（行）向量线性无关6.齐次方程组只有0解；7.存在，非齐次方程组总有唯一解8.的特征值全部不为0四、矩阵的初等变换与初等矩阵（一）矩阵

6、的初等变换及相关概念1.矩阵的初等变换（三种情况）（对秩没有影响）下述三种对矩阵的行列实施的变换称为矩阵的初等行列变换（1）对调矩阵的两行列（对秩没有影响，对行列式有影响）（2）用非零常数乘以某行列中所有元素（对秩序没有影响，对行列式有影响）（3）把矩阵某行列所有元素的倍加至另一行列对应的元素上去（容易搞错）①秩、行列式★★求秩、行列式值（行列变换可混用）；★★②逆矩阵★★求逆矩阵（只用行或只用列）；★★③线性方程的组★★求线性方程组的解（只用行变换）★★★★2.行阶梯形矩阵与行最简形矩阵行阶梯性矩阵（1）具体如下特征的

7、矩阵称为行阶梯形矩阵①零行（即元素全为零的行）全都位于非零行的下方②各非零行坐起第一个非零元素的列指标由上至下是严格增大行最简形矩阵（2）如果其非零行的第一个非零元素为1，并且这些非零元素所在列的其他元素均为零，这个行阶梯形矩阵称为行最简形矩阵对于任何矩阵，总可以经过有限次初等行变换把它化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵★（二）初等矩阵的概念单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵（三）初等矩阵的性质1.设初等矩阵，则为行变换；为列变换2.初等矩阵均可逆，且其逆矩阵是同类型的初等矩阵副对角线相等主对角线倒数；主对角线

8、外异号五、矩阵的等价（一）矩阵等价的概念（等价符号暂用，其实是错的，波浪形应该调转）矩阵经有限次初等变换变成矩阵等价，记作，若，则称后者是的等价标准型，其中是阶单位矩阵，是矩阵的秩★★（二）矩阵等价的充分必要条件1.等价于①，是同型矩阵且有相同的秩②存在可逆矩阵和，是设是矩阵，则存在阶可逆矩阵，阶可逆矩阵，使得2.矩