第1.1课矩阵及其运算

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1、华南农业大学理学院应用数学系线性代数多媒体教学教程教材:魏福义等《线性代数》中国农业出版社参考教材:《高等代数》北京大学主编高等教育出版社主讲教师:陆琪e-Mail:luqi19810508@sohu.comqq:470052354Tele:13631307867(657867)第一章矩阵第四章向量的内积与二次型第六章Matlab软件的应用第二章向量与线性方程组第五章线性空间与线性变换第三章矩阵的特征值与特征向量第一章矩阵§1矩阵及其运算§3行列式§2初等变换与初等矩阵第一节矩阵及其运算1.1.1线性方程组和矩阵的概

2、念1.1.2矩阵的基本运算及性质1.1.3逆矩阵1.1.1线性方程组及其矩阵表示m个方程，n个未知数定义称为m行n列矩阵，简称其中诸叫做该矩阵的元素，矩阵可以简记矩阵，i,j分别称为矩阵A的行标和列标。行矩阵列矩阵元素全是零的矩阵叫做零矩阵，记为O矩阵的行数和列数相等，称之为方阵。把n行n列矩阵称为n阶方阵或n阶矩阵，简称n阶阵两个矩阵行数相同，列数也相同时，称为同型矩阵定义那么就称矩阵A与矩阵B相等，记作A=B例21.1.2矩阵的基本运算及性质一矩阵的加减法定义那么矩阵A与矩阵B的和记作A+B,规定为对应元素相加矩

3、阵的加法满足下列运算规律（i）A+B=B+A(交换律）（ii)(A+B)+C=A+(B+C)(结合律）(iii)A+O=O+A=A-A称为矩阵A的负矩阵，显然有A+(-A)=(-A)+A=O矩阵的减法：A-B=A+(-B)对应元素相减二矩阵的数乘运算定义（1）（2）（3）（4）（5）（6）设两个商店销售三种电视机的数量由矩阵A表示长虹康佳创维百佳华润三种电视机的零售单价由矩阵B表示长虹康佳创维矩阵A表示两车间生产三种产品的数量矩阵B表示三种产品的单位产品消耗两种原料的数量车间一车间二面包蛋糕饼干面包蛋糕饼干糖面粉定义

4、并记作C=AB矩阵乘法的规则：（1）两矩阵相乘时，前矩阵（居左）每一行（如第I行）的各元素与后矩阵（居右）每一列（如第j列）中顺次对应的各元素相乘再相加，从而得到乘积矩阵（第i行第j列）的元素。(2)为保证规则（1），前矩阵的列数应与后矩阵的的行数相等，否则两矩阵不能相乘。（3）乘积矩阵的行数与前矩阵相同，乘积矩阵的列数与后矩阵相同。Am=nnpmpBC矩阵乘法的法则：乘积矩阵AB=C的第i行第j列元素等于前矩阵A的第i行的各元素与后矩阵B的第j列中顺次对应的各个元素的乘积之和。例设求AB矩阵与矩阵相乘不满足交换律，

5、AB有意义，但BA不一定有意义例设AB求AB和BABAAB和BA都意义，但不同型例求AB和BAABBA(1)AB与BA都有意义，且同型，但AB与BA不相等(2)两个非零矩阵相乘可能是零矩阵例求AB和BAABBA=AB如果同阶方阵A和B满足AB=BA,则称A与B可交换矩阵的乘法虽不满足交换律，但仍满足下列结合律和分配律(i)(AB)C=A(BC)(ii)(iii)几种特殊形式的矩阵称为对角矩阵n阶单位矩阵，简记作E.三角形矩阵有两种，分别称或为上三角形矩阵或下三角形矩阵。EA=AE=A数量矩阵矩阵的幂设A是n阶方阵，k

6、为正整数，则表示k个A连乘,如显然，只有方阵的幂才有意义方阵的迹方阵的迹是它的主对角线上的元素和例tr(A)=2+(-3)+0=-1性质：(1)tr(A+B)=tr(A)+tr(B)(2)tr(AB)=tr(BA)转置矩阵把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵,叫做的A转置矩阵，记作行列对调例运算规律对称矩阵如果方阵A满足就称A为对称矩阵例如方阵A为对称矩阵矩阵A中关于主对角线对称的每一对元素都相等设A为任意矩阵，则恒为方阵，且都是对称矩阵设B为任意方阵，则恒为对称矩阵1.1.3逆矩阵ABBA称B为A的逆矩阵定义设

7、A为n阶方阵。AB=BA=E就称为A可逆矩阵，如果存在n阶方阵B，使得并称B为A的逆矩阵（简称逆),记作定理如果A是可逆矩阵，则A的逆矩阵唯一证明设B和C都是A的逆矩阵，则AB=BA=E,AC=CA=EB=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C性质定理如果A和B为同阶可逆矩阵，则AB可逆，且证明故由推论1便知AB可逆，且性质