绝对值三角不等式及其应用.ppt

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1、绝对值三角不等式关于绝对值还有什么性质呢?表示数轴上坐标为a的点A到原点O的距离.

2、a

3、AaOx

4、a

5、=一、复习回顾几何意义:绝对值的性质:证明:10.当ab≥0时,20.当ab<0时,综合10,20知定理成立.探究你能根据定理1的研究思路，探究一下

6、a

7、,

8、b

9、,

10、a+b

11、,

12、a-b

13、等之间的其他关系吗？

14、a-b

15、≤

16、a

17、+

18、b

19、,

20、a

21、-

22、b

23、≤

24、a+b

25、,

26、a

27、-

28、b

29、≤

30、a-b

31、.如果a,b是实数，那么

32、a

33、-

34、b

35、≤

36、a±b

37、≤

38、a

39、+

40、b

41、什么时候等号成立？定理2如果a,b,c是实数，那么

42、a-c

43、≤

44、a-b

45、+

46、b-c

47、当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。证明：根据绝

48、对值三角不等式有

49、a-c

50、=

51、(a-b)+(b-c)

52、≤

53、a-b

54、+

55、b-c

56、当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。绝对值三角不等式的应用证:证明：

57、2x+3y-2a-3b

58、=

59、(2x-2a)+(3y-3b)

60、=

61、2(x-a)+3(y-b)

62、≤

63、2(x-a)

64、+

65、3(y-b)

66、=2

67、x-a

68、+3

69、y-b

70、<2ε+3ε=5ε.所以

71、2x+3y-2a-3b

72、<5ε.典例分析例2:两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工,这两个地点分别位于公路路牌的第10km和第20km处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区,每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次,要使两个施工队每天往返

73、的路程之和最小,生活区应该建于何处?分析:如果生活区建于公路路碑的第xkm处,两个施工队每天往返的路程之和为S(x)km.那么S(x)=2(

74、x-10

75、+

76、x-20

77、)故实际问题转化为数学问题:当x取何值时,函数S(x)=2(

78、x-10

79、+

80、x-20

81、)取得最小值.解:设生活区应该建于公路路碑的第xkm处,两个施工队每天往返的路程之和为S(x)km,则:S(x)=2(

82、x-10

83、+

84、x-20

85、)S(x)=2(

86、x-10

87、+

88、x-20

89、)我们先来考察它的图像:S(x)=2(

90、x-10

91、+

92、x-20

93、)=OxS102030204060S(x)=2(

94、x-10

95、+

96、x-20

97、)60-4x0

98、0201020S(x)=2(

99、x-10

100、+

101、x-20

102、)

103、x-10

104、+

105、x-20

106、=

107、x-10

108、+

109、20-x

110、

111、(x-10)+(20-x)

112、=10当且仅当(x-10)(20-x)0时取等号.又解不等式:(x-10)(20-x)0得:10x20故当10x20时,函数S(x)=2(

113、x-10

114、+

115、x-20

116、)取最小值20.OxS102030204060S(x)=2(

117、x-10

118、+

119、x-20

120、)已知二次函数f(x)=x2+ax+b(a，b∈R）的定义域为［-1，1］，且

121、f(x)

122、的最大值为M.(1)证明：

123、1+b

124、≤M;(2)当时，试求出f（x）的解析式.由

125、

126、f(x)

127、在［-1，1］上的最大值为M建立不等式M≥

128、f（1）

129、，M≥

130、f（0）

131、，M≥

132、f（-1）

133、是解决问题的关键.（1）证明∵M≥

134、f（-1）

135、=

136、1-a+b

137、，M≥

138、f（1）

139、=

140、1+a+b

141、，2M≥

142、1-a+b

143、+

144、1+a+b

145、≥

146、（1-a+b）+（1+a+b）

147、=2

148、1+b

149、，∴M≥

150、1+b

151、.（2）证明依题意，M≥

152、f（-1）

153、，M≥

154、f（0）

155、，M≥

156、f（1）

157、，又f（-1）=

158、1-a+b

159、，

160、f（1）

161、=

162、1+a+b

163、，

164、f（0）

165、=

166、b

167、，∴4M≥

168、f（-1）

169、+2

170、f（0）

171、+

172、f（1）

173、=

174、1-a+b

175、+2

176、b

177、+

178、1+a+b

179、≥

180、（1-a+b）-2b+（1+a+b

181、）

182、=2，（3）解①②③④证明含有绝对值的不等式，其思路有两种：（1）恰当运用

183、a

184、-

185、b

186、≤

187、a±b

188、≤

189、a

190、+

191、b

192、进行放缩，并注意不等号的传递性及等号成立的条件；（2）把含有绝对值的不等式等价转化为不含绝对值的不等式，再利用比较法、综合法及分析法进行证明.例4设f(x)=ax2+bx+c，当

193、x

194、≤1时，总有

195、f(x)

196、≤1,求证：

197、f（2）

198、≤8.证明方法一∵当

199、x

200、≤1时,

201、f（x）

202、≤1，∴

203、f（0）

204、≤1，即

205、c

206、≤1.又

207、f（1）

208、≤1，

209、f（-1）

210、≤1，∴

211、a+b+c

212、≤1，

213、a-b+c

214、≤1.又∵

215、a+b+c

216、+

217、a-b+c

218、+2

219、c

220、≥

221、a+b+c+a-b+c-2c

222、

223、=

224、2a

225、，且

226、a+b+c

227、+

228、a-b+c

229、+2

230、c

231、≤4，∴

232、a

233、≤2.∵

234、2b

235、=

236、a+b+c-（a-b+c）

237、≤

238、a+b+c

239、+

240、a-b+c

241、≤2，∴

242、b

243、≤1，∴

244、f（2）

245、=

246、4a+2b+c

247、=

248、f（1）+3a+b

249、≤

250、f（1）

251、+3

252、a

253、+

254、b

255、≤1+6+1=8，即

256、f（2）

257、≤8.方法二∵当

258、x

259、≤1时，

260、f（x）

261、≤1，∴

262、f（0）

263、≤1，

264、f（1）

265、≤1，

266、f（-1）

267、≤1.由f（1）=a+