一类三角形不等式的证法初探.pdf

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1、2014年第4期河北理科教学研究短文集锦=可4,／73理来证明三角形不等式，所涉不等式有：——j；—一cos+si。nU。。一——i一cos=例1在△ABC中，求证：eosA+eosBc。s+sin：sin(+)∈⋯sc≤吾．例2在AABC中，求证：【一，】，故2+y的最大值是--ssinnc≤警．2CJo．——5‘例3在aABC中，求证：cos+cos2评注：三角换元是最常见的一种换元方法，当题目中出现+)，=1，+y=r，B，C9+c0--~≤。+：l，=时，可以考虑三角例4在△Bc中，求证：s

2、in罢sin导+换元．解法七：和差换元法．令2x=8+b，Y．C．A．．3s1“s1n+s1ns1“≤’=0一b，代人4。+y。+y=1，得(口+6)安老师又在文[2]里提供了如下一个三+(0—6)+(口+6)·(o一6)：1，整理角形不等式问题：问题89在锐角aABC中，求证：得。2+．·[一，】，cosBcosC+cosCoosA+eosAeosB≤i．所以2∈[一2,／5Y6，]澈首先注意到：由三角恒等式COS2：2+)，的最大值是．，可知例l与例3实为同一例题；评注：和差换元对于对称问题是非

3、常有其次注意到：问题89其实对任意aABC效的，在设元时必须关注对称性，本题中若令都成立(证明见后)；又注意到当、、C为=0+6，Y=口一b，那么化简后含有交叉项ab，之所以造成这一结果的原因就是没有三角形的三内角时，号一、号一、号一詈考虑到对称性，条件中的等式关系并不是关也必为某(锐角)三角形的三内角．由此可知于，Y的对称关系，而是关于2x，Y的对称例4实为问题89的一个特例(详由见后)，这关系．正是三角形不等式的一大新亮点，其证明理应有它的独到之处。基于这种思想而求索．(湖北省大冶市第一中学黄俊

4、峰袁正弦类或余弦类的基本三角形不等式通方程435100)常有以下四组：第1组在AABC中，有_类三角形不等式的证法初探sinA+sinB+sinc≤①eosA+eosB+cosC≤妄(文[1]例1)②安振平老师在文[1]里研讨了用抽屉原·41·2014年第4期河北理科教学研究短文集锦第2组在△ABC中，有三角形恒等式：sinA+sin2B+sin2C=2+sin2A+sin2+sin2C≤9③2cosAcosBeosC，立知⑧式成立；下证②式：CO82A+c。s2+c。S2C≥3④在③式中，用号一A

5、、号一罢、号一2分别代A、B、C(理由同前)，有sirI2(7l"一A)+第3组在△ABC中，有一sinBsinC+sinCsinA+sinAsinB≤罟⑤sin(-一g一B)+siIl2(号一C)≤9~Jlcos2+c0s2B+COS2C≤9(文[1]例3)⑨§eosBeosC+cosCcosA+cosAcosB≤(问题89)⑥1+cosA1+co8B1+co8C—■一+—一+—一≤第4组在△ABC中，有罟甘c。sA+c。s+cosc≤3，即②式成立；sinAsin蹦nc≤警(文⋯例2)⑦再证⑥式

6、：结合②式，易知在AABC中，一1

7、不等式最基础的方法是“消地由⑥式可证文[1]的例4；一般地，在元法”．在△ABC中，不妨设A为锐角，则△Ac中，若(A，B，C)≤0(或≥0)，则sin2A+sin2B+sin2Cf(-~一一A旦一’一2，’2一2)，≤0u(或≥0u)，．’22，2一=sin2A++最后，用代数不等式：≥=1+sinA一(c0s2B+eos2C)(半)≥≥(。号=1+sinA—cos(+C)eo$(B—C)(其中最后一个不等式成立的条件是口，=2一COS2A+eosAcos(B—C)≤2一COS2A+eosAb，c

8、均为正数)及③式，得丢≥=罟一(eosa—1)≤号，③式得证．≤迪≥(、1)：2“核心”连“四组”sinBsinC+sinCsinA+sinAsinB≥———————————一≥由核心式③可以巧妙地演变出“四组”中的其它7个三角形不等式来：(sinAsinBsinc)号由此立知①、⑤、⑦三式的由③式的正确性，④式不证自明；又由正确性．·42·2014年第4期河北理科教学研究短文集锦的函数Y的每个值都必须大于0，但不一定参考文献要求Y必须取大于0的一切数．而函数Y=1安