n元均值不等式的一种新证法.pdf

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1、2005年9月思茅师范高等专科学校学报Sep.2005第21卷第3期JournalofSimaoTeachers’CollegeVol.21No.3════════════════════════════════════════════════════════n元均值不等式的一种新证法梁巧丽1，李胜平2*（1.三门峡市实验中学，河南三门峡472000；2.思茅师范高等专科学校，云南思茅665000）【摘要】文中通过对a2+b2+c2≥3abc的一种新证法的探究，得到了n元均值不等式的又一种新证法。【关键词】均值不等式；添项；数学归纳法【中图分类号】O1

2、22.3【文献标识码】A【文章编号】1008-805（92005）03-0050-02均值不等式annn⋯a（n∈N，n≥2，并且a，a，⋯，a都是正数）是初等数1+a2+⋯+an≥na1a2n12n学中非常重要的一个不等式。文［1］中对于n=3的证明方法，由已知结论a332b+ab2，b33+b≥a+c22，a3322，然后三式相加，再利用a+b≥2ﾍab，即可有a333≥bc+bc+c≥ac+ac+b+c≥3abc.文［2］中给出了a222+b+c≥3abc的一种新证法，即：a3332+b+c+abc≥2abﾍab+2cﾍab2≥2ﾍ2abﾍab·

3、2cﾍab=4abc此方法主要是通过“添项”，以及利用a+b≥2ﾍab来证明a333+b+c≥3abc。本文通过对此证法的探究，然后进一步推广，从而得到了文［3］中n元均值不等式多种证法的又一种新证法。2221对a+b+c≥3abc新证法的探究对a22222+b+c≥3abc的新证法，关键是以二元均值不等式a+b≥2ﾍab为基础，把a+b+2c≥3abc转化为二元均值不等式的情况，从而得以证明，而此证法关键有以下几个方面。第一，把未知转化为已知，即把三元转化为二元，所以必须添一项；第二，添哪一项？显然由所证不等式的特点，首先考虑的应为k3、k3、k3、

4、k，k，k，k都是正整数）；第三，由于不等式取等号时，各单项相等，1a2b3c4ab（ck1234因此所添项系数必须为1.经验证a3、b3、c3都不行，而添abc后，用两次二元均值不等式，正好abc的系数为4，移项后，就是所求三元均值不等式。由于用到了a+b≥2ﾍab，因此，应假设a、b、c都是正数。2由特殊到一般的探究在得到用二元均值不等式可以证明三元均值不等式后，自然会猜想到四元均值不等式、五元均值不等式、六元均值不等式、⋯的表达式，但是如何证明呢？根据特殊到一般的思维方式，首先，考虑四元均值不等式，a4444+b+c+d≥4abcd，显然，不用添

5、项，用两次二元均值不等式即可证明；其次，考虑五元均值不等式a55555+b+c+d+e≥5abcde，同样的思路，若用二元均值不等式，添一项后，需要至少三次，显然不能证明.根据前面对三元均值不等式的探究可知，必须添的项为abcde，并且不等式变为六项，用已知不等式证明后应为6abcde，而6=2×3，所以应该先用一次三元均值不等式，再用一次二元不等式正好可以证明，即：*【收稿日期】2005-06-20【作者简介】梁巧丽（1974-），女，河南三门峡市人，三门峡市实验中学一级教师；李胜平（1958-），男，云南墨江人，思茅师范高等专科学校数学系副教授。5

6、0梁巧丽，李胜平：n元均值不等式的一种新证法a55555555）+（d55+b+c+d+e+abcde=（a+b+c+e+abcde）332222233222223≥3abcﾍabc+3deﾍabc≥2ﾍ3abcﾍabc×3deﾍabc=6abcde移项得：a55555+b+c+d+e≥5abcde。最后，由四元均值不等式以及五元均值不等式的证明可知，六元均值不等式的证明，应该用一次三元均值不等式以及一次二元均值不等式.七元均值不等式的证明，应该添一项abcdefg后，共八项，用一次四元均值不等式以及一次二元均值不等式.以此类推，即可得到元均值不等式的

7、表达式以及证明方法。3n元均值不等式的新证法由特殊到一般的思维方式，可猜想到n元均值不等式应该为annn⋯a（n∈N，1+a2+⋯+an≥na1a2nn≥2，并且a1，a2，⋯，an都是正数）。下面给出它的一种新证法。证明用数学归纳法证明。1）、当n=2时，即为二元均值不等式，显然成立。2）、假设当n

8、ka1a2⋯ak不等式成立。若k为奇数，则有：akk⋯+ak⋯akkk）+（akk⋯a）1+a