均值不等式的八种证法_毕力格图

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1、第24卷第6期白城师范学院学报Vol．24，No．62010年12月JournalofBaichengNormalCollegeDec．，2010均值不等式的八种证法12毕力格图，赵丽(1.兴安职业技术学院数学系，内蒙乌兰浩特137400;2.白城市洮北区海明小学，吉林白城137000)摘要:由于不等式本身在数学中的重要地位以及不等式的证明的困难性，使不等式的证明方法成为数学领域内的热门问题．本文拟将介绍均值不等式的算术归纳法、局部调整法、排序原理、不等式法、几何方法、变量替换法、归纳原理、逐次调整法等八种证明方法，归纳总结出不等式证明技巧

2、，进而提高学习者不等式探究能力和证明方法．关键词:不等式;算术平均值;几何平均值;证明方法中图分类号:O178文献标识码:A文章编号:1673-3118(2010)06-0012-04a1+a2+……+ann设a1，a2，……，an是n个正数，我们把n和槡a1a2…an分别叫做这n个正数的算术平均数和几何平均数，分别记为An(a)，Gn(a)．a1+a2+……+ann对于n个正数a1，a2，……，an，有n槡a1a2…an，即An(a)Gn(a)，当且仅当a1=a2=……=an时，等号成立．这个不等式称为算术———几何平均不等式或柯西不

3、等式，以下简称均值不等式．1用算术归纳法证明(1)当n=2时，不等式显然成立．(2)假设Ak(a)Gk(a)，当n=k+1时，因为ai具有全对称性，所以不妨设ak+1=max{ai

4、i=1，2，……，k，k+1}．于是有a1+a2+…+ak+ak+1a1+a2+…+akAk+1－Ak=－k+1kk(a1+a2+…+ak)+kak+1－k(a1+a2+…+ak)(a1+a2+…+ak)=－k(k+1)k(k+1)k·ak+1－(a1+a2+…+ak)ak+1－Akak+1－Ak==Ak+1=Ak+k(k+1)k+1k+1k=1a－Ak+1

5、=Aak+1－Akk+1+C1·Ak·k+1kak+1(k+)akk+1kk+1k+1k+1kk+1kkk+1=Ak+Ak·ak+1－Ak=Akak+1Gk·ak+!=Gk+1，这证明当n=k+1时原不等式成立．由(1)、(2)可知对任意自然是n，An(a)Gn(a)成立．2用局部调整法证明不妨设a1a2a3……an，若a1=a2=a3=……=an，则An(a)=Gn(a)显然成立．若收稿日期:2010－10－08作者简介:毕力格图(1966———)，男，兴安职业技术学院数学系副教授，东北师范大学课程与教学论专业博士生，研究

6、方向:教师专业发展;赵丽(1980———)，女，白城市海明小学数学教师．12均值不等式的八种证法ai(i=1，2，…，n)不全等，则a1＜an．令bj=ai(j=2，3……，n－1)，b1=A(a)，bn=(a1+an)－A(a)，a1＜b1＜an，a1＜b1＜an那么b1bn＞a1an．事实上，若有A+B=A'+B'，A＜B，A'+B'＜A－BA'＞A，B'＞A总有A'B'－AB=A'B'－A[(A'+B')－A]=(A'－A)(B'－A)＞0．于是，An(b)=An(a)，Gn(b)＞G(a)，且bi(i=1，2，…，n)中至少有一个不

7、等于An(a)．若b2，b3，…，bn这n－1个数都相等，显然命题成立，否则仍不妨设b2b3b4……bn，b2bn，再令c1=b1=An(a)=An(b)，c2=An(b)，cn=(b2+bn)－An(b)，Ck=bk(k=3，4，…，n－1)．又可得An(c)=An(B)，Gn(c)＞Gn(b)且ci(i=1，2，……，n)中至少有二个不等于An(b)．这样的调整之多重复n－1次，最终必将出现新数组中各正数均相等．假设第s次时新数组中各正数均相等，那么An(a)=An(b)=An(c)=…=An(s)，Gn(a)＜Gn(b)＜G

8、n(c)＜…＜Gn(s)．同时An(s)=Gn(d)，所以An(a)＞Gn(a)．从上述证明过程可知，当且仅当a1=a2=…=an时取等号．3用排序原理证明做序列:a1a1a2a1a2…an－1a1a2…anx1=，x2=2，…，xn－1=n－1，xn=n=1取其中的一个排列:GGGGx1a1x2a2xnanb1=xn=1，b2=x1，…，bn=xn－1则=，=，…，=，b1Gb2GbnG111不妨设x1x2…xn0则0＜…由排序原理可知x1x2xnx1x2x3xn111+++…+x1·+x2·+…+xn·=n，b1b2b3

9、bnx1x2xna1a2an即++…+n，∴An(a)Gn(a)．GGGx4用不等式e1+x证明nx0∵e1+x，∴1=e=exp{∑[ak/An(a)－1]}k=1nn