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1、均值不等式的专题：文章把重点知识专题化，难点知识分散化。与学生一起分析知识结构特点，应用范围，应用技巧，易出错误和知识与知识之间的横向联系及纵向联系，指出与高考怎样连接，点击高考题型和解题技巧！ 关键词：均值不等式；灵活运用 ：G633.6：A：1002-7661（2011）11-223-02 —、什么是均值不等式 定理：如果a,b均为正数,那么（ab）／2≥√ab,﹝当且仅当a=b时,取等号﹞ 即均植不等式:（ab）／2≥√ab 证明:∵（a-b)2≥0 ∴a2b2≥2ab 又∵a,b均为正数, ∴（√a)2（√b)2≥2√a√b ab≥2√ab 即:（ab）
2、／2≥√ab 1,（ab）／2叫做正a,正b的算术平均数. 2,√ab叫做正数a,b的几何平均数. 3,数列解释: （ab）／2叫做a,b的等差中项. √ab叫做a,b的等比中项. 4.几何解释:半径不小于半弦. 5,均值不等式定理的另一种叙述:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 二、均值不等式的灵活运用 均值不等式的功能在于“积和互化”,创造应用定理的环境,常用技巧是“拆添项”和“配凑因子”.而动机在于谋求和或积得定值。正确应用定理把握三点：⑴正，⑵定，⑶相等。 例⒈求函数y=1／（x-3）x（x＞3）的最小值 分析:函数y=1／（x-3）x中的两项1／（x
3、-3）与x均为正数,但其积不是定值,故应先变形为其积为定值时,才可以用均值不等式求其最值. 解:∵y=1／（x-3）x=y=1／（x-3）x-33 又∵x＞3,即x-3＞0,1／（x-3）＞0 ∴y≥23=5 当仅当1／（x-3）=x-3时,即x=4时取“=” ∴y的最小值是5 例⒉求函数y=x（8-3x）（0＜x＜8／3） 分析:欲求积的最大值.x与（8-3x）均为正,但和不为定值,因此将x变为3x再配平,使其和为定值,方可用均值不等式求其最值. 解:∵y=x（8-3x）（0＜x＜8／3） ∴y=1／3.3x（8-3x） （0＜x＜8／3）即3x＞0,8-3x＞0 y
4、≤1／3×【（3x8-3x）／2】2=16／3 ∴Y的最大值是16／3 点拨：此题变形逆用均值不等式，ab≤（）2， a，b均为正数。 例3：求函数y=（x>1）的最小值。 解：y=====x1 =x-12 ∵x>1，即x-1＞0，＞0 y≥22=8 当且仅当x-1=，即x=4时，取（=） ∴y的最小值等于8 点拨：配凑因子，动机在于创造适合均值不等式的条件，积为定值。 有些分式函数可以拆分为一个整式或一个分式，或一个整式和一个分式，在变形过程中，需经过函数式加减同一个常数，若部分项积为定值，且使定理成立方可！ 例4：当x>-1时，求函数f（x）=的值域 解：∵x
5、>-1，∴x1>0 ∴f（x）== =x1-5≥2-5=2-5 当且仅当x1=即x=－1，x=－－1时取“=”。 又因为x>-1，故－－1舍去，所以x=－1时取“=”。 ∴当函数式中x>-1时，此函数的值域可表示为【2√5-5，∞】 点拨：本题给出f（x）=与f（x）=的值域求法，即简单，有快捷！ 例5：若a>b>0，求证a的最小值为3。 证明：∵a>b>0，即a-b>0 ∴a=a-bb≥3=3 当a-b=b=时，a=2，b=1 ∴a的最小值为3 点拨：均值不等式推广为三个元素，当a，b，c，均为正，则abc≥3，a=b=c时，取“=” 例6：求函数y=x（1-x2
6、）（00 又∵y2=x2（1-x2）2=×2（1-x2）（1-x2） ≤（）3 =×= 当2x2=1-x2，x=，y2= y>0，x=，y的最大值等于 点拨：本题需求其平方后的最大值，利用均值不等式推广，然后求最大值。 例7：求函数y=3x2-2x3（00，3-2x>0 所以y=x
