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时间:2019-05-12
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1、利用均值不等式求最值均值不等式(定理)具有将“和式”与“积式”相互转化的功能,应用比较广泛,这里仅就其在求函数最值中的应用述其管见。为了用好该不等式,首先要正确理解该不等式中的三个条件(三要素):正(各项或各因式均为正值)、定(和或积为定值)、等(各项或各因式都能取得相等的值,即具备等号成立的条件),简称“一正、二定、三相等”,这三条缺一不可,当然还要牢记结论:积定→和最小,和定→积最大。但是在具体问题中,往往所给条件并非“标准”的正、定、等(或隐含于所给条件之中),所以还必须作适当地变形,通过凑、拆(拼)项、添项等技巧,对
2、“原始”条件进行调整、转化,使其符合标准的正、定、等,以保证使用该不等式。一、凑正值例1.设x<-1,求函数的最值。分析:欲用均值不等式来解。因,则不满足“正”的条件,故需利用已知条件调整其符号。解:因为,即,所以,则。当且仅当,即时,y有最大值,且,y无最小值。评注:(1)通过“凑”,利用条件将有关项化为正值,从而满足公式中正的条件。否则会出现,则的错误。(2)对于分式函数,常常等价转化为的形式再求最值。常用的转化方法有分离系数法、换元法等。二、变定值例2求函数的最小值。-10-分析:因并非“定值”,故不能直接运用均值不等
3、式,为此需对原式按拆(添)项重组。解:原函数化为因为所以。当且仅当即x=1,x=-1时,。评注:通过拆(添)项,“变”也定值是本题求解的关键。对此要弄清以“谁”为“基准”(如本题中以为基准)来拆、添、配、凑,做到有的放矢。例3求函数的最大值。分析:因定值,故需拆凑使其满足定值条件,原函数中有一个因式,为使其余因式与()之和为定值,需以()为准将拆成,这时就有定值。解:。当且仅当,即时,。评注:一般说,凑“和”为定值较难,它需要一定的技巧。当然这种技巧来源于对均值定理的真正理解和基本的恒等变形能力。三、找等号例4求函数的最小值
4、。错解:直接利用均值不等式,得-10-所以。这种解法之所以错误,原因是,即取不到“等”的条件。正解:原函数拆项,得因为,当且仅当即时等号成立,又因为所以,当且仅当时取等号。上面两式同时取等号,故。评注:在用均值不等式求三角函数最值时,既要考虑等号,又要考虑三角函数的有界性,使等号成立的条件与三角函数的有界性保持一致。四、综合变换例5求函数的最小值,下列解法是否正确?为什么?解法1:,所以。解法2:当,即时,。评注:所给两种解法均有错误。解法1错在取不到“等”,即不存在x使,解法2错在不是定值。正解:对原函数合理拆(添)项,得
5、-10-当且仅当,即时,。例6.设,求证:证:令,则分两种情形:(1)时,.∴(2)时,.点评:,故先作代换,使的表达形式更简单,放缩较为大胆,但要注意时能取到符号,放缩不能过头,最后回到平均值不等式。例7.求最大常数,使对所有正实数成立.解:取,有.又.故.-10-练习1.已知x>0,y>0,且,求的最小值。2.若a>0,b>0,且,求ab的最小值。3.求的最大值。答案与提示:1.。2.由,得3.,此时,,故当时,。练习1.设,求证:练习2.设x+y+z=0,,(1)求证:(2)试求出最佳的常数,使不等式练习3.设为锐角,
6、且,求证:对任意实数x,y,z有练习4.设,且x+y+z=1,试求:的最小值-10-一类不等式的巧证数学竞赛中经常出现一些含有等号的不等式。如能抓住其等号成立的条件,再根据不等式的形式特征,配凑一定的项,应用均值不等式可对这类问题作出简捷的证明。现举例说明如下:例1:(第二届友谊杯国际数学邀请赛试题)设a、b、c都是正数,证明:分析:易见,当a=b=c时,等号成立,此时有,为去掉分母凑出因式,为使等号成立,必须凑出。证明:∵a,b,c都是正数∴;同理:;;将上面三式相加,整理得例2:(第36届IMO试题)设a、b、c为正实数
7、,且满足abc=1,试证:分析:因为abc=1,所以a2b2c2=1故原不等式可化为易见,当a=b=c=1时,等号成立。此时,为去分母且使等式成立,凑出因式证明:∵a、b、c为正实数∴同理:将上面三式相加并整理得:∵abc=1-10-∴即例3:设a、b、c、d为正数,且a+b+c+d=1,求证:证明:易见当a=b=c=d=时等号成立。此时∵∴同理:;;;将上面四式相加,代入a+b+c+d=1整理,得:例4:设(1≤i≤n)为小于c的正数,且求证:分析:由,可知原不等式等价于:即:证明:∵∴∵;∴∴-10-∴∴注:本例中当c=
8、1时,即为著名的Shapiro不等式;当c=s时,即得1976年英国竞赛题;当s=1,c=2时,即得1984年巴尔干竞赛题。并由此可解第23届IMO试题:设,且。求的最小值。例5若为实数,且.求证:分析:着眼点是去分母,易见当时,等号成立。此时,而,为保证等号成立,必须凑出:,若使用有根号
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