均值不等式专题

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1、利用均值不等式求最值均值不等式（定理）具有将“和式”与“积式”相互转化的功能，应用比较广泛，这里仅就其在求函数最值中的应用述其管见。为了用好该不等式，首先要正确理解该不等式中的三个条件（三要素）：正（各项或各因式均为正值）、定（和或积为定值）、等（各项或各因式都能取得相等的值，即具备等号成立的条件），简称“一正、二定、三相等”，这三条缺一不可，当然还要牢记结论：积定→和最小，和定→积最大。但是在具体问题中，往往所给条件并非“标准”的正、定、等（或隐含于所给条件之中），所以还必须作适当地变形，通过凑、拆（拼）项、添项等技巧，对

2、“原始”条件进行调整、转化，使其符合标准的正、定、等，以保证使用该不等式。一、凑正值例1．设x<－1，求函数的最值。分析：欲用均值不等式来解。因，则不满足“正”的条件，故需利用已知条件调整其符号。解：因为，即，所以，则。当且仅当，即时，y有最大值，且，y无最小值。评注：（1）通过“凑”，利用条件将有关项化为正值，从而满足公式中正的条件。否则会出现，则的错误。（2）对于分式函数，常常等价转化为的形式再求最值。常用的转化方法有分离系数法、换元法等。二、变定值例2求函数的最小值。-10-分析：因并非“定值”，故不能直接运用均值不等

3、式，为此需对原式按拆（添）项重组。解：原函数化为因为所以。当且仅当即x=1，x=－1时，。评注：通过拆（添）项，“变”也定值是本题求解的关键。对此要弄清以“谁”为“基准”（如本题中以为基准）来拆、添、配、凑，做到有的放矢。例3求函数的最大值。分析：因定值，故需拆凑使其满足定值条件，原函数中有一个因式，为使其余因式与（）之和为定值，需以（）为准将拆成，这时就有定值。解：。当且仅当，即时，。评注：一般说，凑“和”为定值较难，它需要一定的技巧。当然这种技巧来源于对均值定理的真正理解和基本的恒等变形能力。三、找等号例4求函数的最小值

4、。错解：直接利用均值不等式，得-10-所以。这种解法之所以错误，原因是，即取不到“等”的条件。正解：原函数拆项，得因为，当且仅当即时等号成立，又因为所以，当且仅当时取等号。上面两式同时取等号，故。评注：在用均值不等式求三角函数最值时，既要考虑等号，又要考虑三角函数的有界性，使等号成立的条件与三角函数的有界性保持一致。四、综合变换例5求函数的最小值，下列解法是否正确？为什么？解法1：，所以。解法2：当，即时，。评注：所给两种解法均有错误。解法1错在取不到“等”，即不存在x使，解法2错在不是定值。正解：对原函数合理拆（添）项，得

5、-10-当且仅当，即时，。例6．设，求证：证:令，则分两种情形：（1）时，.∴（2）时，.点评:，故先作代换，使的表达形式更简单，放缩较为大胆，但要注意时能取到符号，放缩不能过头，最后回到平均值不等式。例7．求最大常数,使对所有正实数成立.解:取,有.又.故.-10-练习1.已知x>0，y>0，且，求的最小值。2.若a>0，b>0，且，求ab的最小值。3.求的最大值。答案与提示：1.。2.由，得3.，此时，，故当时，。练习1．设，求证：练习2．设x+y+z=0,，（1）求证：（2）试求出最佳的常数，使不等式练习3．设为锐角，

6、且，求证：对任意实数x,y,z有练习4．设，且x+y+z=1，试求：的最小值-10-一类不等式的巧证数学竞赛中经常出现一些含有等号的不等式。如能抓住其等号成立的条件，再根据不等式的形式特征，配凑一定的项，应用均值不等式可对这类问题作出简捷的证明。现举例说明如下：例1：（第二届友谊杯国际数学邀请赛试题）设a、b、c都是正数，证明：分析：易见，当a=b=c时，等号成立，此时有，为去掉分母凑出因式，为使等号成立，必须凑出。证明：∵a，b，c都是正数∴；同理：；；将上面三式相加，整理得例2：（第36届IMO试题）设a、b、c为正实数

7、，且满足abc=1，试证：分析：因为abc=1，所以a2b2c2=1故原不等式可化为易见，当a=b=c=1时，等号成立。此时，为去分母且使等式成立，凑出因式证明：∵a、b、c为正实数∴同理：将上面三式相加并整理得：∵abc=1-10-∴即例3：设a、b、c、d为正数，且a+b+c+d=1，求证：证明：易见当a=b=c=d=时等号成立。此时∵∴同理：；；；将上面四式相加，代入a+b+c+d=1整理，得：例4：设（1≤i≤n）为小于c的正数，且求证：分析：由，可知原不等式等价于：即：证明：∵∴∵；∴∴-10-∴∴注：本例中当c=

8、1时，即为著名的Shapiro不等式；当c=s时，即得1976年英国竞赛题；当s=1，c=2时，即得1984年巴尔干竞赛题。并由此可解第23届IMO试题：设，且。求的最小值。例5若为实数，且.求证：分析：着眼点是去分母，易见当时，等号成立。此时，而，为保证等号成立，必须凑出：，若使用有根号