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1、试论函数值域求解法类化研究收稿日期:2010-XX-XX內蒙古自治区高等学校科学研究项目，NJ10322作者简介：毕力格图(1966-),内蒙古科右中旗人，内蒙古师范大学数学科学学院教授，东北师范大学课程与教学论专业博士，主要研究方向为教师专业发展。毕力格图(内蒙古师范人学数学科学学院，内蒙呼和浩特010022)摘要：在数学教育教学过程中，通过一个问题解决一类问题的思维训练模式对培养学生数学素养十分重要。基于这样教学理念，本文拟将结合函数类型特征介绍函数值域的多种求解方法，进而提高学习者的探究和应用函数的能力。
2、关键词：函数；值域求解法；函数类型；数学教学中图分类号：GXX文献标识码：A文章编号：XXXX-XXXX函数是初等数学核心概念，而函数值域(最值或优化解)求解方法是重点内容之一。因此熟练常握函数值域求法，进而解决实际应用问题显得十分重要。而在数学方法常握过稈中，通过一个典型案例或问题解决--类问题的思维训练模式是关键。本文拟将结合函数的类型特征介绍函数值域的不同求法。1-配方法配方法是依据二项完全平方公式，合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的方法对数学式子进行恒等变形，使数学式子出现完全平方，从而化繁为
3、简的技巧。配方法多出现于二次函数、二次方程、二次不等式、二次代数式或不含xy项的二次曲线的平移变换等问题的解决过稈中。下面用这个方法讨论一元二次函数一般式的值域求解。f(x)=ax2+bx+c=aXH2q)4a(dHO),可分三种情形讨论。(1)若兀不受任何限制，即氏&则q>0时有最小值ymin=f-4ac-b24a没有最大值，即值域为f2aGV0时有最大值儿和=4ac-b24a没有最小值，即值域为(2)若X—边受限制，即(或(-oo,加］),则考虑对称轴的位置。当rh)、x=e[m5-K>o)时，d〉0时值域
4、为2af,4-00k2a；丿a<0时值域为为（-°°,/（加）］。ypbr3x=电m.-Ko2a）时,a>0时值域为［/(加),+°°)avO时值域(3)若兀两边都受限制,即xe［m,n］(或xe(m,n)),则还要考虑对称轴的位置。当hX=62a[m9n]时,Q>0时最小值为儿讪=f4ac-h24a最大值为儿涿=max{/(〃2),/(/z)}；qvO时最大值为儿严/'最小值为儿血=min{/(〃2),/(/t)}。当兀=-■［in.n］时，如果/(m)>/(/?),那么值域为［/(")，/(〃)］；如果/(
5、m)
6、+h±!cx+d=—t2土/+~—,CC/>0。再利用一元二次函数值域求解方法可得原函数的值域。例2求函数y=y/x-^-y/a-X(>0)的值域。解:因为y=y[x+la-xH-g[0,1]a,可利用三角换元法。设x=<7sin2&,0,—,则y=4x+>Ja-x=[a（sin+cos&）二V2^sin&•—-2」4故原函数值域为[乔,O例3己知P(x』)是曲线4x2-5x^+4/=5±的动点，T=x2+y求T的值域。解：可利用均值换元法。由—",可设宀討4,能xy=±J^-t2o代入曲线方程得4T
7、±5Jy-/2=5,移项平方整理可得：39厂-160T+100Z00几故解39Z60T+100S0得:詈灯罟，即T的值域为叫1332.反函数法若y二/(兀)与歹=f'[(x)互为反函数’则y=/_1(%)的定义域为y=/(兀)的值域。“丄cix+h形如利用这一关系求得函数值域的方法称之为反函数法。因为它的反幣数)=出!2cx-a(QCHO)若XIxx^-—,xe/?>,那么可利用反函数法求出其值域。的定义域为xx^-,x^r,所以原函数的值域为y尺卜3.判别式法把函数解析式化成关于x的二次方程F(x,y)
8、=O,由函数定义域非空可知此方程一定存在实数根，即4>0,进而求得原函数的值域的方法称之为判别式法。2形如尸牡+休+1(坷、色不同时为零)的函数，如果分子分母没有公因式且定义域为｛巾2〒+优兀+。2工0,*/?]，则常用此方法求值域。?r2+4r-7例°求函数"E7T的值域。解：把函数解析式变形为yx2+2yx+3y=2x2+4x-7,即变为关于兀的方程(y—2)/+2(y—2)x+3
