求函数值域总结

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1、三、求函数的值域:★提要：函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示;在函数f：A-B中，集合B未必就是该函数的值域,若记该函数的值域为C,则CuB；若。=13,那么该函数作为映射我们称为“满射”；1.直接法：(1)根据函数定义，由函数的映射法则和定义域，直接求出函数的值域。例1.已知函数y=(x-l)2-l,xg{-1,0X2},求函数的值域。解：因为x6{-1,0,U},而/(-1)=/(3)=3,/(O)=f⑵=0,/(1)=-1所以：yw{—1,0,3}

2、,(2)利用常见函数的值域来求一次函数y二ax+b(aH0)的定义域为R,值域为R；反比例函数y=—(k工0)的定义域为{x

3、x^0},值域为{y

4、yH。}；二次函数/(x)=ax2+b兀+C(QH0)的定义域为R，当8〉0时,值域为(yy>(4皿-戸)4a当a〈0时，值域为{yy<^aC~b2)}.4a2.判别式法(△法)：判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题屮要注意二次项系数是否为0的讨论.2x2+2x+3例2.求函数y=?的值域。x+天+1(123解：因为x2+x

5、+l=x+—+—工0,原函数变形为：I2丿4(y-2)x2+(y-2)兀+(y-3)=0(1)当y=2时，求得y=3,所以yH2。当)^2时，因为xwR,所以一元二次方程(1)有实数根。贝ihA>0,即：{y-2)2-4(y-2)(y-3)>0=>20x=l-f2代入得y=f(t)=2(l-r)^4t=-2t2+4/+2=-2(—1)2+4Vt>0Ay<4即函数值域为（一

6、比4］例4•求函数y=(兀？_5x+12)(x2一5x+4)+21的值域。9解：令t=x2—5x^4=5)x——2丿「99一一，则rn一一o44y=r(r+8)+21=r2+8/+21=(r+4)2+5,9当t>--时，>in=一？+4丫+5=8丄丿16，值域为山嗚例5・求函数y=x-2jl=x的值域。解：令f=yj—x,则兀=1—广，fn0,y=—t^—2t=—(t+1)_+2当t>0时，/inax=1-02-2x0=1所以值域为（-ooj］o2.函数的单调性:例6.求函数y=x+—在

7、区间xe（0,4-oo）上的值域。X解：任取兀］,卷W（0,+oo）,且兀］<兀2，贝9/（兀

8、）一/（兀2）=~~X2）（兀1勺__,因为0VX］V兀2，所以：兀］一兀2V°，州兀2〉0，当10,则/(%))>/(兀2)；当0<州<兀2<1时，xxz-1<0,则/（%））

9、•/•（%）+©,当要注意/&）的值域。例7.求函数y=^J-2x-x2+3的值域。解：因为一2兀一兀~+3»0,即一35兀51,y二J_（乂+1）厶+4,于是：0<-U+l）2+4<4,0

10、是1.基本不等式法：利用重要不等式d+b»2j亦，C，bw/r）求出函数的最值而得汕值域的方法。此法的题形特征是：当解析式是和式时，要求积是定值；当解析式是积式时，要求和是定值;为此解答时，常需要对解析式进行恒等变形，具体讲要根据问题本身的特点进行拆项、添项;平方等恒等变形。_r21QAr例9.求函数尸亍厂的值域。解:y=+30兀=_牙+32一一=34—[(x+2)+-^-]x+2x+2x+2因为分母不为0,即2,所以:当x>-2时，(x+2)+6°>2、(兀+2)6°=16,当且仅当x+2=,

11、x=6时,兀+2V兀+2x+264)=16,取等号，ymax=18；当兀v—2时，一(兀+2)+()n2、-(x+2)(—兀+2V兀+264当且仅当一(兀+2)=—丄一，兀=-6时，取等号，y罰=50；x+2值域yw(--18JU150,+oo)注意：利用重要不等式时，要求/(x)>0,且等号要成立。1.数形结合法：当函数解析式具有某种明显的几何意义(如两点间距离，直线的斜率、截距等)或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。例10.求函数y=Jl+x+J1-兀的值域。解：