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1、一类数列和不等式证法探究(ok)一类数列和不等武证法探究深圳市第二高级屮学陈红明对于一类数列和不等式，如果其屮一边可看作n的函数式，另一•边是一•个数列的前n项和，且这个和式既不能玄接求和，也较难先放缩后求和，常可以考虑下列方法.下血举例说明.例1(2010年广州二模理数试题节选)对于任意正整数n,求证：121314In11In1n11213In以下用两种方法对不等式的左边加以证明：方法一：令f(n)ln20,23n12111f(n1)f(n)ln(n1)ln(n2)ln(l),n2n2n2ln(n1),则f(l)xx10,1(X)考虑函数g(x)ln(
2、lx)x,(0x1),g‘所以g(x)g(0)0即ln(lx)x0,而故f(n1)f(n)In2ln(lIn2In2(0,1),)0,即f(n)单调递减，1213In1ln(n1)从而f(n)f(n1)f(l)0,即该法点评：此法将证明不等式转化为比较人小，进而利用函数与导数知识将问题简化.屮利用f(n+l)-f(n)的差，减少了研究对象的项数.{an}的前n项和为ln(n1),方法二：记数列ln2(n1),ln(n1)Inn(n1),则an即anln(n1)Inn(n1),In1下证In1n1Inln(n1)Inn,即证nn10,Innln(n1)0,
3、即证：(x)考虑函数g(x)xln(lx),(0x1),g'xx10,所以g(x)g(0)0,而In1(0,1),故In11213In1Innn1120成立.13ln3ln2,,In1ln(n1)Inn由累加得ln(n1)Inn得In1ln2lnl,(ln2lnl)(ln3ln2)(ln(n1)Inn)ln(n1)得证.1点评：此法将证明不等武屮关于n的函数武分拆成一个数列的前n项和，比较两个数列的对应项的大小得到不等式的证明.我们常看到不少解答屮一开始就套用函数知识，最后來一-个巧妙的代换，使不等式得以证明的方法，这些方法是如何来的，则让人费解•而采用
4、这两种方法，则很容易知道用什么函数、何时用该函数•该不等式的右半部分请人家类比证明.再看一个例子：例2.(北京通州模拟)12知数列an的前n项和Snn2annn1(I)求证：数列nnN，且312.11Sn是等差数列；n(II)试比较al2a23a3nan与2nIn2的人小，并说明理由.解答：(I)当n1时，nInSn2S12al1当n2时，emSnSn1,2SnSn1nn1,・：n21Snn2Sn1nn1,.InInSnnn1Sn11nInSnnn1Sn11,即•••数列n1nSn是首项为1,公差为1的等差数列.nInSn1n11n,/.Sn2(II)由
5、(I)知，n2n19In1又已知Snnannn1，•:2n1nannn1,nann2通过n=l,n二2发现312a23a3nan<2n1n2,该不等式符合前血提到的几个特征.n112412f(n1)n1n11nn1in22n19In2(11)in2n1Cn1n1019n20,即f从而f(n)0,f(n)(nDan122Cn1Cn11n1n2n22i1)f(n)0.f(n1)f(l)0,即al2a23a3nan2n2.2点评：类似例1屮证法一，在判断符号时川二项式系数的性质，使问题简化.{bn}的前n项和为2n1n2,则bn证法二：记数列1(n1),21(
6、n1),n即bn2n—1(n1),下证nanbn,即证nnnIn1121,即证n1nnIn1In12,n2(11)CnCnCn1nn13n由nann21得al2h2a22l,3a321,nan21，累n2加后得al2a23a3nan<2n1n2.点评：类似例1小证法二。在比较两个数列的对应项小利用二项式系数性质。值得一提的是这些题口我们也可以用数学归纳法去证明。以下两题留给人家练习：1.(09梅州质检)证明：nN且n1,ln23ln38ln415ln524lnnn12(n4)(n1)6■2.(09江西临川模拟)证明:122ln22132ln32ln42l
7、(n1)2ln(n1)2n2(n1)(n2)(nN)■参考文献：1.方贤圣数列不等武证法举例语数外学习高屮版高一年级2(X)6年11期2.石含军数列型不等式的证明数学教学通讯(教师版)2008年3期1.黄新梅、葛念国与数列有关的不等式的证明屮国教育与补会科学2009年第6期练习答案：1.证法一：f(n)ln23ln38lnnn12(n4)(n1)22(n4)(n1)6n23(n5)n62231n(n1)n(n2)2n2n设(x)31nx(x1)(x1)(x1),3则'(x)3x3x2x1213x2xx3(1x)xx(lx)x320(x)(1)0,即31n
8、(n1)n(n2)20,f(n1)f(n)0又f⑵ln23ln381132810
