数列不等式放缩问题的探究

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1、有关数列不等式放缩问题的探究-、直接放缩1、放大或缩小“因式”；例1.(2009年四川)设数列｛色｝的前料项和为S“,对任意的正整数都有an=5Sn+成立,记4-4-Z7bn=—(I)求数列｛仇｝的通项公式;1-J3(II)记二纭—LtSwNJ,设数列｛c“｝的前料项和为7；,求证：对任意正整数〃都冇Ttl<-；乙解：(I)当n=1吋，a〕=5纠+1,「・Q]=—土又Q色=5色+1,%严5%和+1・"曲-色=5。曲,即％产-卜”・•.数列｛an｝成等比数列，其首项d[=-丄,公比是

2、由(I)知bn=4+5(—4)”一15525x16"1=42,t-14曲+1(16〃一1)(16”+4)25x16〃25x16〃25<=—(16")2+3xl6"-4)(16”尸16”(舍去项口接放人)1343又b、=3b=—,•••q=—当n=1吋，7]<—]-3324111当”22时，T<-+25x(—+—+K+——)，?3161216316〃冷+25x16第(3)问关键在如何放缩。解:(1)•・•％+]=2%+1,+1=2(%+1)故数列｛鑫+1｝是首项为2,公比为2的等比数列。/.鑫+1=2",a”=2"-111111(3)•/—=:<:=J2间一12

3、网一2设3=丄+丄+・・・+丄，则Sv丄+丄(丄+丄+・••+丄)=—+-(S—-—)a3an+ia22a2a3ana22atJ+l「21212a2色+13勺沖3例3、已知Q”=2"-1(/?€N*)・求证：——+-^-+...+-^(71€N").23勺冬证明：・・•％=ak+-2--l"2-2(2"-1)一2一3公+2J2二2一3•2“_h2,…”a.1—-—■■■+昇丄(丄+W+...+JL)工丄(1一丄)昇丄23222T23T23乞+鱼+…+n1<231JL

4、例4、己知数列a｝满足a”+]=d；,oVd[W—,求证：工a•-％])%2<—•2jt=i

5、32证明*.*0va】5—,q“+]=ci~，/.a?=——，他——***•当k'1时,0

6、又放缩，有的放矢，直达目标.3、先适当组合，排序，再逐项比较或放缩例6、（2001年全国）.已知7,/〃、/?是止整数，且1＜iWm＜n.⑴证明：z/A；V〃/A；；⑵证明：（1+/〃丫＞（1+刀）炉证明：(1)对于1<,W刃，.0.A-m(777—z+1),A；mm-17"—tn1min加一'+1,同理丝mn'nn-i+由于刃＜刃，対于整数A=l,2,…，7—1,有一＞—~~-nma*心所以玉〉亠,即川A：〉dA；n1ml（2）由二项式定理有:（1+加）"二1+Cj,卅C：/+・・・+C；m,(1+/?)壬1+©讯汕+・・・+(:加，.....A'•A

7、'由⑴知方A：>//A；(IV灯刃V/?),而C；“=4,C：=」z!ilniC>nJCa仃nC^n,…，〃fC；；＞zfc；；：,Z'C；；+,＞0,…，〃fC；；＞0,・・・1+C：卅C細+・・・+C；加'＞1+C；“卅C肓+・・・+c；；；/f,即（1+/〃）"＞（1+刀广成立.二、添减项放缩例7.设n>,nwN,求证(2)“<——§——1(/!+1)(/7+2)93]简析观察（彳）"的结构，注意到（

8、）w=（i+-r，展开得(1+$+c冷+C冷+C冷+2+分心）（”+如2）+6即（1+

9、丄）〃＞（"+1）（〃+2）,得证.28例8.设数列｛①｝满足。严2,%严碍+丄(n=1,2,…).(I)证明％>J2〃+1对一切正整数舁成an立；(II)令讥希(归,2,…),判定乞与爲的人小，并说明理由(04年重庆卷理科第(22)题)证明：a2n+=q：+2+A>q：+2-a；>2,k=1,2,…，"一1.>J2n+1则盗->2(n-1)=>a：〉2〃+2〉2〃+1=>Q”例9.已知数列K)的前〃项和s”满足sn=2an+(-l)>1・(I)写出数列血｝的前3项％勺，角；(II)求数列｛色｝的通项公式；(III)证明：对任意的整数m>4,有丄+丄+.

10、..+丄(04年全国卷III)们@a„