多元问题中的主元与次元.pdf

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1、多元问题中的主元与次元■孙鸣数学中常有涉及多个变元的问题,字母多,又都可变化,不分析:依次以c,b,o为主元,变形后人手求解.知从何处人手.本文结合实例介绍几种处理方法.解:原式整理成,(c)=(5c-a)+n2+1+==-万,可一、突显主元如果题目中出现了“关于的方程(不等式)有解”,“对于见当c=詈时(c)取最小值。2+1+l一=a2+一切实数m恒成立”等字眼,不妨就以这个字母为主元进行求1解.这是最基本的方法.(0一b)6‘例1设函数,()=+bx一1,若当∈[1,2]时,不等贶g(62+一(a-b)b式f()<

2、1有解,求实数b的取值范围.毒坷见解:以为主元,分离出所求次元(参数)b,那么,()<1当b=—时,g(6)取得最小值为+n.可化为6<:一2一在区间[1,2]上有解,因此6只要小再记^(。):4+。,则由+。≥4,当且仅当丢:。2,于兰-=羔.的最大值.即o:√时取等号,从而h(n)的t14,值是4令g()=2_≠=了2一,易知g()在区间[1,2]上递综上,当c:A-,6:,。:时,原式取得最小值4,故选减,则g()的最大值是g(1)=2—1=1,所以b的取值范围是(一o。,1)二、确定主元以某个变元为主元的多元问

3、题中,从主元人手分析求解比对于某些多元问题,可以恰当地确定主元,特别是对多元较困难,此时不妨转换思维方向,以某个次元为主元重新思考,地位均等的情况,认定其中一元为主元,往往能打开解题途径.往往会获得意想不到的效果.例2设0,b,c∈[0,2],求证40+6。+c+abc≥2ab+例4当1≤m≤2时,解不等式(10g2m一1)log~x一6log2m2bc+2ac.·log3+l0g2m+1>0.证明:以。为主元,原不等式等价于f(。)=(4+6c一26—解:若解关于log的二次不等式,十分困难.改变视角,整2c)Ⅱ+b

4、+c一2bc≥0.,由条件0≤fl,≤2,知f(0)的图象是理成关logzm的不等式(1og~x一61og3x+1)log2m+1一log~x>定义在区间[0,2]上的一条线段.0.由题设1≤m≤2,知0≤log2m≤1,记l0g2m=,构造相应又由b,C∈[0,2],可得f(0)=b+c一2bc=(b—c)≥函数f()=(1og~x一61og~x+1)+1—1g32(0≤“≤1).0(2)=8+2bc一4b一4c+6+c一2bc:(6—2)+(c一当0≤≤1时()>0恒成立,则有(o)>o,即2)≥0,可知f(o)表

5、示的线段总在横轴及其上方,因此恒有,(a)≥0,从而原不等式得证.f一。g;>0,化为点评:本例也可以b或C为主元构造二次函数型,但证明要[1og~x一6log3+1+1一log~x>0,复杂一些.三、逐元求解tll~g3x÷:k一<。‘解之得l÷6>c>0,则2Ⅱ1转化是数学解题中最重要的思想方法.面对多元问题,应观一10Ⅱc+察式子的结构特点,

6、参考本文提供的某种方法,回避次要方面,25c的最小值是()抓住主要矛盾,使问题迎刃而解.(A)2(B)4(C)(D)5[哈尔滨市一二二中学(15oo4o)]笳瑚

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