多元问题中的主元与次元.pdf

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1、多元问题中的主元与次元■孙鸣数学中常有涉及多个变元的问题，字母多，又都可变化，不分析：依次以c，b，o为主元，变形后人手求解．知从何处人手．本文结合实例介绍几种处理方法．解：原式整理成，(c)=(5c-a)+n2+1+==-万，可一、突显主元如果题目中出现了“关于的方程(不等式)有解”，“对于见当c=詈时(c)取最小值。2+1+l一=a2+一切实数m恒成立”等字眼，不妨就以这个字母为主元进行求1解．这是最基本的方法．(0一b)6‘例1设函数，()=+bx一1，若当∈[1，2]时，不等贶g(62+一(a-b)b式f()<

2、1有解，求实数b的取值范围．毒坷见解：以为主元，分离出所求次元(参数)b，那么，()<1当b=—时，g(6)取得最小值为+n．可化为6<：一2一在区间[1，2]上有解，因此6只要小再记^(。)：4+。，则由+。≥4，当且仅当丢：。2，于兰-=羔．的最大值．即o：√时取等号，从而h(n)的t14,值是4令g()=2_≠=了2一，易知g()在区间[1，2]上递综上，当c：A-，6：，。：时，原式取得最小值4，故选减，则g()的最大值是g(1)=2—1=1，所以b的取值范围是(一o。，1)二、确定主元以某个变元为主元的多元问

3、题中，从主元人手分析求解比对于某些多元问题，可以恰当地确定主元，特别是对多元较困难，此时不妨转换思维方向，以某个次元为主元重新思考，地位均等的情况，认定其中一元为主元，往往能打开解题途径．往往会获得意想不到的效果．例2设0，b，c∈[0，2]，求证40+6。+c+abc≥2ab+例4当1≤m≤2时，解不等式(10g2m一1)log~x一6log2m2bc+2ac．·log3+l0g2m+1>0．证明：以。为主元，原不等式等价于f(。)=(4+6c一26—解：若解关于log的二次不等式，十分困难．改变视角，整2c)Ⅱ+b

4、+c一2bc≥0．，由条件0≤fl,≤2，知f(0)的图象是理成关logzm的不等式(1og~x一61og3x+1)log2m+1一log~x>定义在区间[0，2]上的一条线段．0．由题设1≤m≤2，知0≤log2m≤1，记l0g2m=，构造相应又由b，C∈[0，2]，可得f(0)=b+c一2bc=(b—c)≥函数f()=(1og~x一61og~x+1)+1—1g32(0≤“≤1)．0(2)=8+2bc一4b一4c+6+c一2bc：(6—2)+(c一当0≤≤1时()>0恒成立，则有(o)>o，即2)≥0，可知f(o)表

5、示的线段总在横轴及其上方，因此恒有，(a)≥0，从而原不等式得证．f一。g；>0，化为点评：本例也可以b或C为主元构造二次函数型，但证明要[1og~x一6log3+1+1一log~x>0，复杂一些．三、逐元求解tll~g3x÷：k一<。‘解之得l÷6>c>0，则2Ⅱ1转化是数学解题中最重要的思想方法．面对多元问题，应观一10Ⅱc+察式子的结构特点，

6、参考本文提供的某种方法，回避次要方面，25c的最小值是()抓住主要矛盾，使问题迎刃而解．(A)2(B)4(C)(D)5[哈尔滨市一二二中学(15oo4o)]笳瑚