解题--主元思想在解题中的应用--张学虎文库

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1、“主元思想”在解题中的应用1.引言在数学问题的分析屮，能抓住问题的突破口，抓住问题的主要矛盾往往是解题成功的关键。波利亚也十分强调“念头诱发”，一个“好念头”往往使人眼前一亮，本文就以问题中的“元”作为问题分析和解决的突破口。2.概念在许多的数学问题中，都常常含冇常量、参量和变量(统称为元索)，在这些元索中，某个元索必然在解题的某个阶段，某个情境中处于突出的、主导的地位，这吋我们在解题吋就把这个元素看作主元。把淡化辅元，突出主元，用主元去分析、研究、解决问题的方法叫主元法或称主元思想。这种解题的数学思想也是数学上两大支柱思想，符号化与变元思想与化归和辩证思想在解题中的完美结合。

2、3.数学问题中常见的“主元思想”分析与处理的方法。3.1消元和换元这是我们在解题中常见的对元的处理方式，在解决多元问题时，我们说的主元法其实是一种变相的消元，只考虑问题变化的主要因素，消元和减元是我们解题的总趋势。换元也是我们比较熟悉的解题方法，可以根据换元对象与方法的不同有報体代换、三角代换、均值代换、常值代换等1-几种换元法，利用换元法可以达到揭示问题的本质或转化问题等H的。3.2主元转换我们在含有多个变量的题H中，通过灵活选用不同变元为主元，利用不同数学知识、方法转换为不同的数学问题.例：卜

3、sl，(1+劝"+(1—兀)"52"⑴①〃为主元吋，这是一道关于自然数〃的命题，

4、数学归纳法可证(1+x)n+(1-兀)"=[c；；+Cx+C^x2+…+C：x"]+[c；：+C：(-x)+…+C：；(-兀)"52[C：+C：+C：+T=2E2"J②把兀看成主元，则不等式左边是关于兀的函数，斤为常数，问题转化为求函数的最大值问题.解：令f(x)=(l+x)n+(l-x)n则f(x)=n[a+xy-l-(i-xy-l~当1吋，051—兀<1；1<1+兀52则(1+x)n~l>(1-x)n~l,z.fx)>0/(x)在[0,1]为增函数,f(x)

5、M1,h

6、g/V*都成立.本题还可以利用三角换元，指数函数性质解决.3.3非主元分离“分离参数法”，“分离常数法”是一种典型非主元分离的应用，可以排除非主元干扰，凸现主元地位,在解决一•些不等式恒成立问题，函数单调性中参数范围问题吋经常用到.例：已知d>0,且QH1,OVX<1,判断

7、loga(l-兀)

8、与

9、loga(l+x)

10、的大小.解：•.•0

11、10ga(l-X)

12、>

13、10ga(l+X)分离参数法关键是要分离出参数示将原问题转化为函数的最值和值域；分离常数法式研究分式函数的一种代数变形

14、的主要方法.3.4增加主元通过增设变量间接寻找问题中量的本质联系，从而揭示问题的本质，简化运算。如常用设连等式为/?,“设而不求”思想为常见的增元方法的应用。...„1Gr-V7+12%4+X例：已知兀<0,且兀——=a/5,求Xx8+9x4+1的人1(x-y=V5(x+y=-3解：令一=八<丿,°x=1[x"+y=7F+12_(兀+y)[(X+y)2一3^]+12_3原式=Z+/+9二(F+y2)2_2兀2尸+9二一五例：若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=Of求证x,y,z成等差数列解：增设/，构造关于以(x-y)和(y-z)为根的二次方程则[t-(x-y)][/—(y

15、—z)]=0o尸+(z—x)t+(兀一y)(y—z)=0・•・A二(Z-兀)2-4(兀一y)(y-Z)二0两根相等.••兀一y=y—z兀，y,z成等差数列3.5变化主元我们在教小学纶学习数的运算时，先让学生学习实物或口等计数运算，再转变为具体数字或字母的运算，从而上升为数运算和方程运算的学习，其实这就是变化主元的思想，这种关系的转化在解题中也有广泛的的应用。如数形结合的思想就是“数元”和“形元”的一种转化思想；等差数列的通项公式和前n项和公式都可以分别对应一次函数和二次函数的关系。例：在等差数列中，前斤项和Stl-m,前加项和Stn=n,求前m+n项和Sfll+n°S解：设Sn

16、=an2+bn,贝—=an+bnSSS从而点(m,—);(/?,—);(m+n,m-1)都在一次函数y=ax+h的图像上，即点mnm+no,n);min(仏);ns((m+)共线m+nnmnm+nmn=-(7?z+n)+n)-n1.意义我们在解答多元问题时，如果部分主次来研究，会使我们难以把握问题的实质；如果能够根据具体的条件和解题需要，运用主元的数学方法来解题，则不但思维专注，思路清晰，而fl•解法简捷，必可以收到以简驭繁之奇效。参考文献：[1]徐建新.从一道不等式的多种证法谈数学主元思想