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《高考数学例谈解题中“主元思想”的应用讲义》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、例谈解题中“主元思想”的应用在数学解题中常用到“主元思想”,所谓“主元思想”,即是指在含有两个或两个以上字母的问题的解决过程中,选择其中一个字母作为研究的主要对象,视为“主元”,而将其余各字母视作参数或常量,来指导解题的一种思想方法.这一思想方法运用的核心是确定“主元”､选择“主元”,在多变量问题的解题中一旦选对了“主元”,等价于战斗中选择准了主攻方向.下面利用两道例题的分析和解题研究来简单介绍一下应该如何运用“主元思想”和如何选择解题中的“主元”:[例1]设不等式mx2—2x-m+1﹤0对满足︱m︱≤2的一切m都成立,求x的取值范围.[分析1]可以将原不等式化为(x2-
2、1)m﹤2x-1①,采用分离变量法,视为主元,通过讨论x2-1的符号来求解.[解答1](1)当x2-1=O即x=±1时,①成立2x-1﹥O,∴x=1;(2)当x2-1﹥0即x﹤-1或x﹥1时,由①式得m﹤,由题意知﹥2,由此得不等式组,解得1﹤x﹤;(3)当x2—1﹤0即-1﹤x﹤1时,由①得m﹥,由题意知﹤-2,由此得不等式组,解得﹤x﹤1;综上可知:﹤x﹤.[分析2]视m为主元,将原不等式看成关于m的不等式,进而将不等式的左边看成关于m的函数,利用函数的性质解题.[解答2]设f(m)=(x2-1)m+1-2x,则︱m︱≤2时,恒有f(m)﹤0,∴,解得.[点评]上述两
3、种解法都运用了“主元思想”,但从解题过程来看,视m为主元比视x为主元要简便得多.事实告诉我们,若能稍微改变一下思维习惯,在含有多个变量的问题中,合理运用“主元思想”,优先考虑如何选择主元是十分必要的.[例2]设a､b､c､d是实数,且满足(a+b+c)2≥2(a2+b2+c2)+4d,求证:ab+bc+ac≥3d.[分析]原不等式为关于a､b､c的对称轮换式,若能证明ab≥d,则同理可证bc≥d,ac≥d,从而命题得证.三个变量在解题中具有等同地位,谁可以作为主元?由于题设中的不等式可变形为c2-2(a+b)c+a2+b2-2ab+4d≤0,从变形的结构形式看,此时可以视
4、c为主元,构造函数f(x)=x2-2(a+b)x+a2+b2-2ab+4d,进而通过研究该函数的性质来帮助寻找与的不等关系.[解答]如分析中所设,易知f(x)是开口向上的抛物线,∵f(c)≤0,从而抛物线与x轴有交点,∴△=4(a+b)2-4(a2+b2-2ab+4d)≥0,即ab≥d,同理,若分别视a､b为主元,则可证得bc≥d,ac≥d,∴ab+bc+ac≥3d,证毕.[点评]对于含有多个变量的等式或不等式,可以运用“主元思想”来指导对式子的整理和变形,从多个变元中选择出一个作为主元,可以使我们的研究目标更加清晰,以便于在纷繁复杂的关系中理出头绪.许多看似复杂､困难的
5、问题,运用这样的思想方法去求解,常常可以收到“避虚就实､变繁成简,化难为易”的解题效果.最后给出两个问题留给读者作为练习:(1)已知a､b､c∈R,a+b+c=0,abc=1,求证a､b､c中至少有一个大于.(2)已知k=a+x=b+y=c+z,a,b,c,x,y,z均为正数,求证:ay+bz+cxk2.参考解答:(1)由a+b+c=0得b=-a-c代入abc=1中,得-ac(a+c)=1ac2+a2c+1=0,将该式视C为未知数(主元)的方程,则△=a4-4a≥0,∵a0,∴a≥,若在该式视a为主元,则可得c≥,故原命题成立.(2)由条件可知x=k-a,y=k-b,z=
6、k-c,k0,a､b､c∈(0,k),记f(a)=ay+bz+cx,则将x,y,z代入后得:f(a)=(k-b-c)a+bk+ck-bc(0ak),其中0b,ck,当b+c≥k时,f(a)f(o)=bk+ck-bc=k2-(k-b)(k-c)k2当b+ck时,f(a)f(k)=(k-b-c)k+bk+ck-bc=k2-bck2综上可知:f(a)k2,即ay+bz+cxk2.
