概率的乘法公式.doc

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1、1.5概率的乘法公式1.5.1条件概率【问题1】3张奖券中只有一张能抽奖，现分别由3名同学无放回的抽取，问最后一名同学抽到奖券的概率是否比其他同学小？若抽到中奖券的概率用“”表示，没有抽到的用“”表示，用表示事件A中基本事件的个数，那么所有可能抽取情况为，用B表示最后一名同学抽到中奖奖券的事件，则，由古典概型可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为【问题2】如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是多少？因为已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么所有可能的抽取情况变为，由古典概型

2、可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为，不妨记为.显然,知道第一名同学的抽取结果，即知道了事件A的发生，会影响事件B发生的概率，从而导致了.【问题3】对于上面的事件A和B，计算的一般想法是什么？既然已经知道了事件A的必然发生，所以只需局限在A发生的范围内考虑问题，在事件A发生的情况下事件B发生，等价于事件A和事件B同时发生，即AB发生，对于古典概型，由于组成事件A的各个基本事件发生的概率相等，因此其条件概率为.①为了把条件概率推广到一般情形，我们对上述公式作如下变形：因此有这一式子已经不涉及古典概型，可以将它作为条

3、件概率的推广定义.一般地，设A，B为两个事件，且，称②为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率(conditionalprobability).一般地，把读作A发生的条件下B的概率。条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即如果B和C是两个互斥事件，则例1．在5道题中有3道理课题和2道文科题，如果不放回的依次抽取2道题，求：(1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率。【答案】设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽

4、到理科题为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB.(1)从5道题中不放回的依次抽取2道的事件数为根据分步乘法计数原理，，于是(2)因为，所以(1)解法1由(1)(2)可得，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为解法2因为，，所以提升：在实际应用中，解法2是一种重要的求条件概率的方法。例2.一个家庭有两个小孩，假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩，问这时另一个小孩是男孩的概率是多少？【答案】一个家庭的两个小孩只有4中可能：｛两个都是男孩｝，｛第一个是男孩，第二个是女孩｝，｛第一个是

5、女孩，第二个是男孩｝，｛两个都是女孩｝。由题目假定可知这4个基本事件发生是等可能的，根据题意，设基本事件空间为，A=“其中一个是女孩”，B=“其中一个是男孩”。则={(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}A={(男，女)，(女，男)，(女，女)}B={(男，男)，(男，女)，(女，男)}问题是求在A发生的情况下，事件B发生的概率，即求法一：由上面分析可知，.由公式①可得因此所求的条件概率为。法二：由上面分析可知，.由公式②可得因此所求的条件概率为。例3.已知有10只产品，其中6只只正品，4只次品，不放回的

6、抽取两次(1)已知第一次抽到的是次品，问第二次抽到正品的概率；(2)已知第一次抽到的是正品，问第二次仍然抽到正品的概率；(3)二次都抽到正品的概率;(4)已知其中一次抽到的是正品，问另一次也抽到正品的概率；【答案】根据题意得：设正品编号为,,,,,，次品编号为,,,，基本事件空间是，其中共有90个基本事件，设事件表示第次抽到正品，事件表示第次抽到次品，则(1);(2);(3);(4).例4.一张储蓄卡的密码共有6为数字，每位数字都可以从0~9中任选一个。某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字。求(1

7、)任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；(2)如果他记得密码的最后一位数字是偶数，不超过2次就按对的概率；【答案】设第次按对密码为事件，则表示不超过2次就按对密码.(1)因为事件与事件互斥，由概率的加法公式得(2)用B表示最后一位按偶数的事件，则.【习题1.5.1(A)】1.下列式子成立的是()A.B.C.D.【答案】C2.在10个形状大小均相同的球中有6个红球和4个白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次也摸出红球的概率为()【答案】3.已知，，则等于()A.B.C.D.【答案】A4.

8、抛掷红、黄两颗骰子，当红色骰子的点数为4或6时，两颗骰子的点数之和大于20的概率是()A.B.C.D.【答案】A5.一个盒子里有20个大小形状相同的小球，其中5个红的，5个黄的，10个绿的，从盒子中任取一球，若它不是红球，则它是绿球的概率是()A.B.C.D.【答案】C6.根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为，