概率的乘法公式

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1、1.5概率的乘法公式1.5.1条件概率【问题1】3张奖券中只有一张能抽奖，现分别由3名同学无放回的抽取，问最后一名同学抽到奖券的概率是否比其他同学小？若抽到中奖券的概率用“厂表示，没有抽到的用“产表示，用MA)表示事件A中基木事件的个数，那么所有可能抽取情况为^={YYY,YYY,YYY}9用B表示最后一名同学抽到中奖奖券的事件，则B={YYY},由古典概型可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为P(B)〃(B)_1h(Q)-3【问题2】如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到

2、中奖奖券的概率又是多少？因为已经知道第一名同学没有抽到屮奖奖券，那么所有可能的抽取情况变为心时丽},由古典概型可知，最后-名同学抽到中奖奖券的概率为雳冷不妨记为P{B

3、A)•显然，知道第一名同学的抽取结果，即知道了事件A的发生，会影响事件B发生的概率，从而导致了・【问题3】对于上面的事件A和B,计算P(B

4、A)的一般想法是什么？既然已经知道了事件A的必然发生，所以只需局限在A发生的范围内考虑问题，在事件A发生的情况下事件B发生，等价于事件A和事件B同时发生，即AB发生，对于古典概型，由于组成事件

5、A的各个基本事件发生的概率相等，因此其条件概率为P(B

6、4)=匹也.①为了把条件概率推广到一般情形，我们对上述公式作如下变形:P(BIA)=n(AB)=MAB)/g=P(AB)~n(A)~m(A)//?(Q)-P(A)因此有P(BA)=P(AB)P(A)这一式子已经不涉及古典概型，可以将它作为条件概率的推广定义.一般地，设A,B为两个事件，且p(A)>0,称P(BA)=^^②P(4)

7、为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率(conditionalprobability).一般地，把P

8、(BA)读作A发生的条件下B的概率。条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即O

9、?1)<1.如果B和C是两个互斥事件，则P(BuC

10、A)=P(B

11、A)+P(C

12、A)・例1・在5道题屮有3道理课题和2道文科题，如果不放回的依次抽取2道题，求:(1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率。【答案】设第1次抽到理科题为事件A,第2次抽到理科题为事件B,则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB.

13、(1)从5道题中不放回的依次抽取2道的事件数为??(Q)==20.根据分步乘法计数原理，斤(A)=£xA：=12,于是(2)因为n(AB)=A^=6,所以（3）解法1由（1）（2）可得，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为P(BA)=P(AB)P(A)-3一103-5解法2因为n(AB)=6,n(A)=12,所以P(BA)=n(AB)n(A)6_112~2提升：在实际应用中，解法2是一种重要的求条件概率的方法。例2.一个家庭有两个小孩，假定生男、生女是等可能的，己知这个家庭有

14、一个是女孩，问这时另一个小孩是男孩的概率是多少？【答案】一个家庭的两个小孩只有4中可能：｛两个都是男孩｝,｛第一个是男孩，第二个是女孩｝,｛第一个是女孩，第二个是势孩｝,｛两个都是女孩｝。由题目假定可知这4个基本事件发生是等可能的，根据题意，设基本事件空间为其中一个是女孩JB■其中一个是男孩"。贝IJQ=｛（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）｝A=｛（男,女），（女，男），（女,女）｝B=｛（男,男）,（男，女）,（女,男）｝问题是求在A发牛的情况下，事件B发牛的概率，即求P（BA）

15、.法一：由上面分析可知“（A）=3,n（AnB）=2.由公式①可得P（BA）=^因此所求的条件概率为2。332法二：由上面分析可知P（A）=二，P（AcB）=—・44由公式②可得27因此所求的条件概率为兰。3例3・已知有10只产品，其屮6只只正品，4只次品，不放回的抽取两次(1)已知第一次抽到的是次品，问第二次抽到正品的概率；(2)已知第一次抽到的是正品，问第二次仍然抽到正品的概率；(3)二次都抽到正品的概率；(4)已知其中一次抽到的是正品，问另一次也抽到正品的概率；【答案】根据题意得：设正品

16、编号为znz2,z3,z4,z5,z6,次品编号为G,C2,C3,C4,基本事件空间是Z1Z2,ZIZ3,Z1Z4,ZIZ5,Z1Z6,Z1C1,Z1C2,ZIC3,Z1C4,ZqZ],Z2Z3,Z2Z4,Z2Z5,Z2Z6,Z2C,,Z2C2，Z2C3,Z2C4,z仏z/j…工Z/9Z6C2,Z6C39Z6C4、C]Z],CZ2,cZd'CG'CG’CGC2ZpC2Z2,C2Z6,C2C15C2C3,C2C4,C3Zj，C3Z2,C3Z6,C3CpC3C2,C3C4,C4Z!，C4Z2,C4