非线性KirchhofF-型微分方程解的存在性问题研究.pdf

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1、摘要自上世纪七十年代以来，随着山路定理，鞍点定理等临界点定理的发明，近代变分法(又称为大范围变分法)得到了重大的发展，应用临界点理论研究非线性方程解的存在性及多重性受到了人们的广泛关注，特别地，在非线性椭圆方程边值问题的研究中取得了许多有重要意义的新结果。Kirchhoff-型微分方程是Kirchhoff在1883年研究弹性弦的自由振动时，提出的数学模型，它在非牛顿力学，宇宙物理，血浆问题和弹性理论等诸多领域都有广泛应用，因此研究这些问题具有深刻的现实意义．本文我们应用临界点理论研究了非线性Kirchhoff-型微分方程解的存在性及多重性问题．针对空间中有界区域上的Kirc

2、hhoff-型微分方程J一(1+彭￡lV掰12ax)A掰+矿(x)掰=，(x，“)在Q内，I“=0在孢上．文中分别应蠲环绕定理和伪指标理论，证明了上述方程至少有一个弱解和有无穷多个弱解的存在性问题．针对全空间上的非线·陡Kirchhoff-型微分方程』一(d十6上，lV“12dx)A“+y(x)“=f(x,u)x∈R3，i掰《H’(霆3)。文章分别应用对称山路定理和喷泉定理的变式证明上述方程有无穷多个高能量解的存在性问题．这些研究使我们对Kirchhoff-型非线性微分方程的弱解情况有一个较深入的了解．关键词kirchhoff-型微分方程，变分法，临界点，环绕定理，喷泉定理

3、ABSTRACTSincetheseventiesofthelastcentury，modemvariationalmethods(alsoknownaslarge-scalevariationalmethods)haveasignificantdevelopment弼ththeinventionoftheMountainPassTheorem，theSaddlePointTheorem,mathematicianshavewidelyappliedittosolvenonlinearellipticequationsand,obtainedmanynewresults。T

4、heKirchhofftypeequationswerefirstproposedbyKirchhoff1883asanexistenceoftheclassicalD’Alembe遣’Swaveequationsforfreevibrationofelasticstrings．Theyhavegreatapplicationsinmanyfields，suchasnon-Newtonianmechanics，cosmologyandastrophysics，plasmaproblemsandelasticitytheory，SOourstudyoftheseproblem

5、shasaprofoundpracticalsignificance．Inthis’paper,weapplythevariationalmethodstostudytheexistenceandmultiplicity．,ofsolutionsforthenonlinearKirchhofftypedifferentialequations．Ontheonehand，fortheboundeddomain娆oftheintegralareaofthedifferentialequations，westudythefollowingtypeequation歹一({+彭￡lV

6、豁

7、2dx)A牲+陬冷一，(五鲇)inQ，l嚣=0On搬．wewillapplyLinkingTheorem，Pseudo—indextheorytoabtaintheexi熨enceofthesolutionsoftheabovedifferentialequations．Ontheotherhand，whentheintegralareaoftheeqationsisanunboundeddomain，likethefollowingtypeequations{㈣黼潲燃慧慕歹_《臻÷玉￡{V醒

8、2嘲鑫箨÷y≤砖嚣一，≤墨封≥菇《岔，Y213．7817l群《H1≤碧≥。w

9、estu毋itwithSymmetricalMountainPassTheoremandtheFountainTheoremtopresenttworesultsofexistenceofinfinitelymanylargeenergysolutionsoftheKirchhofftypedifferentialequ懿ions，respectively．KEYWORDSVariationalmethods，Criticalpoints，LinkingTheorem，FountainTheorem，Superli