三角半角公式.doc

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1、和角公式、倍角公式与半角公式适用学科数学适用年级高一适用区域通用课时时长（分钟）60知识点和角公式、倍角公式与半角公式教学目标1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．教学重点1．利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角函数式的化简求值2．公式逆用、变形用(尤其是余弦二倍角的变形用)教学难点公式的灵活应用教学过程一、课堂导入问题

2、：和角公式、倍角公式与半角公式是什么？它们有哪些应用？二、复习预习1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．2．在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝所对应的角α＋β不是唯一的．3．在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值．三、知识讲解考点1两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ　(Cα－β)cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β　(Cα＋β)sin(α－

3、β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β　(Sα－β)sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β　(Sα＋β)tan(α－β)＝　(Tα－β)tan(α＋β)＝　(Tα＋β)考点2二倍角公式sin2α＝2sin_αcos_α；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α＝.考点3半角公式sin＝±；cos＝±；tan＝±＝＝.根号前的正负号，由角所在象限确定．考点4辅助角公式函数f(x)＝asinα＋bcosα(a，b为常数)，可以化为

4、f(α)＝sin(α＋φ)(其中tanφ＝)或f(α)＝cos(α－φ)(其中tanφ＝)．四、例题精析考点一三角函数式的化简与给角求值例1化简：(0<θ<π)；【规范解答】(1)由θ∈(0，π)，得0<<，∴cos>0.因此＝＝2cos.又(1＋sinθ＋cosθ)(sin－cos)＝(2sincos＋2cos2)(sin－cos)＝2cos(sin2－cos2)＝－2coscosθ.故原式＝＝－cosθ.【总结与反思】(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．

5、(2)对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：①化为特殊角的三角函数值；②化为正、负相消的项，消去求值；③化分子、分母出现公约数进行约分求值．考点二三角函数的给值求值、给值求角例2已知0<β<<α<π，且cos＝－，sin＝，求cos(α＋β)的值。【规范解答】∵0<β<<α<π，∴－<－β<，<α－<π，∴cos＝＝，sin＝＝，∴cos＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝，∴cos(α＋β)＝2cos2－1＝2×－1＝－.【总结与反思】(1)解题中注意变角，

6、如本题中＝(α－)－(－β)；(2)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．考点三三角变换的简单应用例3已知函数f(x)＝sin＋cos，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝，cos(β＋α)＝－，0<α<β≤，求证：[f(β)]2－2＝0.【规范解答】解　∵f(x)＝sin＋cos

7、＝sin＋sin＝2sin，∴T＝2π，f(x)的最小值为－2.(2)证明　由已知得cosβcosα＋sinβsinα＝，cosβcosα－sinβsinα＝－，两式相加得2cosβcosα＝0，∵0<α<β≤，∴β＝，∴[f(β)]2－2＝4sin2－2＝0.【总结与反思】三角变换和三角函数性质相结合是高考的一个热点，解题时要注意观察角、式子间的联系，利用整体思想解题．课程小结1．巧用公式变形：和差角公式变形：tanx±tany＝tan(x±y)·(1∓tanx·tany)；倍角公式变形：降幂公式

8、cos2α＝，sin2α＝，配方变形：1±sinα＝2,1＋cosα＝2cos2，1－cosα＝2sin2.2．利用辅助角公式求最值、单调区间、周期．由y＝asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)(其中tanφ＝)有≥

9、y

10、.3．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、