大一高数上-PPT课件-第三章.ppt

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1、第三章微分中值定理与导数的应用一、罗尔(Rolle)定理定理(Rolle)若函数f(x)满足（1）在闭区间[a,b]上连续（2）在开区间(a,b)内可导（3）在区间端点处的函数值相等f(a)=f(b)例如,§3.1微分中值定理几何解释:若连续曲线弧的两个端点的纵坐标相等，且除去两个端点外处处有不垂直于横轴的切线，注①Rolle定理有三个条件：闭区间连续；开区间可导区间端点处的函数值相等；这三个条件只是充分条件，而非必要条件如：y=x2在[-1,2]上满足(1),(2)，不满足(3)却在(-1,2)内有一点x=0使但定理的条件又都是必须的，即为了保证结论成立三个条件缺一不可。例如,又例如,在[

2、0,1]上除去x=0不连续外，满足罗尔定理的一切条件,再例如在[0,1]上除去端点的函数值不相等外，满足罗尔定理的一切条件,②罗尔定理的结论是在开区间内至少有一使导数等0的点。有的函数这样的点可能不止一个；另外还要注意点ξ并未具体指出，即使对于给定的具体函数，点ξ也不一定能指出是哪一点，如在[-1，0]上满足罗尔定理的全部条件，而但却不易找到使但根据定理，这样的点是存在的.即便如此，我们将会看到，这丝毫不影响这一重要定理的应用.例1．不求函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的导数,判断方程f(x)=0有几个实根，以及其所在范围。解：f(1)=f(2)=f(3)=0，f(x)在[1,2

3、]，[2,3]上满足罗尔定理的三个条件。在(1,2)内至少存在一点x1，使f(x1)=0，x1是f(x)=0的一个实根。在(2,3)内至少存在一点x2，使f(x2)=0，x2也是f(x)=0的一个实根。f(x)=0是二次方程，只能有两个实根，分别在区间(1,2)及(2,3)内。二、拉格朗日(Lagrange)中值定理几何解释:推论如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，那么f(x)在区间I上是一个常数。证明：在区间I上任取两点x1，x2(x1

4、f(x1)0，即f(x2)f(x1)。因此f(x)在区间I上是一个常数。证明：设f(x)ln(1x)，显然f(x)在区间[0,x]上满足拉格朗日中值定理的条件，根据定理，就有f(x)f(0)f(x)(x0)，0

5、求0+lim®xxnlnx(n>0)。0.=lim0+-=®nxnx解：xxnxlnlim0+®nxxx-0+®=lnlim10+1lim--®-=nxnxx例8解步骤:步骤:例9解1．洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但最好能与其它求极限的方法结合使用。例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替代或重要极限时，应尽可能应用，这样可以使运算简捷。应注意的问题：2．本节定理给出的是求未定式的一种方法。当定理条件满足时，所求的极限当然存在(或为)，但定理条件不满足时，所求极限却不一定不存在。所以不能用洛必达法则。但其极限是存在的：第三节泰勒(Taylor)公式多项式是一类很重要的函数，其

6、明显特点是结构简单，因此无论是数值计算还是理论分析都比较方便从计算的角度看，只须加、减、乘三种运算，这是其它函数所不具备的优点。用多项式近似地表示给定函数的问题不仅具有实用价值，而且更具有理论价值。一、问题的提出不足:问题:1、精确度不高；2、误差不能估计.二、泰勒(Taylor)中值定理----拉格朗日型余项----佩亚诺型余项麦克劳林(Maclaurin)公式三、简单的应用解代入公式,得常用函数的麦克劳林公式解第四节函数单调性与曲线凹凸性导数符号与单调性单调性的判定步骤凹凸与拐点的定义二阶导数符号与凹凸性凹凸与拐点的判定步骤一、单调性的判别法函数在某区间上是否具有单调性是我们在研究函数的性

7、态时，首先关注的问题。第一章中已经给出了函数在某区间上单调的定义，但利用定义来判定函数的单调性却是很不方便的。从几何图形上看，表示单调函数的曲线当自变量在单调区间内按增加方向变动时，曲线总是上升（下降）的。进一步若曲线在某区间内每点处的切线斜率都为正（负），曲线就是上升（下降）的这就启示我们：能否利用导数的符号来判定单调性？回答是肯定的。定理例1解例2解单调减区间为单调增区间为二、单调区间求法问题