大一高数上 PPT课件 第四章.ppt

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1、第四章不定积分4.1不定积分的概念和性质前面我们已经研究了一元函数微分学。但在科学技术领域中，还会遇到与此相反的问题：即寻求一个可导函数，使其导数等于一个已知函数。从而产生了一元函数积分学。积分学分为不定积分和定积分两部分。本章我们先从导数的逆运算引出不定积分的概念然后介绍其性质，最后着重系统地介绍积分方法。定义1如果在区间I上，可导函数F(x)的导函数为f(x)，即对任一xI，都有F(x)f(x)或dF(x)f(x)dx，那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数．例如，sinx是cos

2、x的原函数．又如当x(1，)时，在区间(1，)内的原函数．一、原函数与不定积分的概念对原函数的研究须讨论解决以下两个问题(1)是否任何一个函数都存在原函数？考察如下的例子若存在可导函数则由的定义关于原函数的说明：（左、右极限存在且相等）而已知矛盾这说明没有原函数既然不是每一个函数都有原函数，那么我们自然要问：具备什么条件的函数才有原函数？对此我们给出如下的结论：原函数存在定理：如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x)，使对任一xI都有F(x)f(x)．说明:①如果F(x)是f(x)

3、的原函数，那么F(x)C也是f(x)的原函数，其中C是任意常数．②如果(x)和F(x)都是f(x)的原函数，则(x)F(x)C(C为某个常数)．简言之：连续函数一定有原函数.（2）原函数是否唯一？若不唯一，它们之间有什么联系？任意常数积分号被积函数不定积分的定义：被积表达式积分变量定义2在区间I上，函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的不定积分，记作根据定义，如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么F(x)C就是f(x)的不定积分.ln

4、x

5、C．例3求积分解例4设曲线

6、通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解设曲线方程为根据题意知由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为微分与积分的关系：从不定积分的定义可知：又由于F(x)是F(x)的原函数，所以积分曲线：f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线．1012112xy3x2的积分曲线：y=x3+CC=0C=-1.5C=1C=2结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.二、基本积分表kxC(k是常数)，arctanxC，arcsinxC，ln

7、x

8、C，sinxC，cosxC，

9、=-221x+C．注意检验积分结果是否正确，只要把结果求导，看其导数是否等于被积函数三、不定积分的性质性质1函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和，即性质2求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来，即ex3sinxC．arctanxln

10、x

11、C．=ò)1()(x22xxx1+++dx例10ò(ex-3cosx)dx例11ò2xexdx=ò(2e)xdxtanxxC．4cotxC．例15òsin22xdx=ò21(1-cosx)dx4.2换元积分法直接利用基本积分表和分项积分法

12、所能计算的不定积分是非常有限的，为了求出更多的积分，需要引进更多的方法和技巧本节和下节就来介绍求积分的两大基本方法——换元积分法和分部积分法。在微分学中，复合函数的微分法是一种重要的方法，不定积分作为微分法的逆运算，也有相应的方法。利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法——换元积分法。通常根据换元的先后，把换元法分成第一类换元和第二类换元。问题解决方法利用复合函数，设置中间变量.过程令一、第一类换元法说明结果正确将上例的解法一般化：设则如果（可微）将上述作法总结成定理，可得——换元法积分公式第一类换元公式（凑微分法）说明

13、:观察重点不同，所得结论不同.定理1的形式，那么如果函数g(x)可以化为g(x)f[j(x)]j(x)根据定理1，注①定理说明：若已知则因此该定理的意义就在于把中的换成另一个的可微函数后，式子仍成立——又称为积分的形式不变性这样一来，可使基本积分表中的积分公式的适用范围变得更加广泛。②——凑微分③凑微分法就在凑微分上，其基本思想就是对被积表达式进行变形，主要考虑如何变化凑微分法的基本思路：与基本积分公式相比较，将不同的部分——中间变量和积分变量——变成相同步骤：凑微分；换元求出积分；回代原变量例1求解（一）解（二）解（

14、三）例2求解ln

15、u

16、Cln

17、cosx

18、C．=-òxcos1dcosx例6ò)ln21(xxdx+例7òxex3dx例8解例9求解例10解注意：拆项是常用的技巧例11求解说明当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.例12求解例13求解例14求解（一）解（二）问题解决方法改变中间变量的