大一高数上PPT课件第二章.ppt

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1、第二章导数与微分1.变速直线运动的瞬时速度设有一质点作变速直线运动,其运动方程为求:质点在时刻的瞬时速度一、问题的提出时刻瞬时速度变化不大,所以质点在若Δt很小,在Δt时间内速度2.若质点作变速直线运动1.若质点作匀速直线运动s0由于速度是连续变化的,分析：可以近似地用平均速度代替瞬时速度于是当时,的极限即为越小,近似的程度越好,称为曲线L上点P处的切线.2曲线的切线的斜率切线的一般定义:设P是曲线L上的一个定点,Q是曲线L上的另一个点,过点P与点Q作一条直线PQ,称PQ为曲线L的割线,当点Q沿着曲线L趋向定点P时,割线

2、PQ的极限位置PT,LPQT设曲线L的方程为y=f(x),越接近于k,Δx越小,Q越接近于P,PQ越接近于PT,切线的倾角为α,则有:分析:如图,割线的倾角为θ,求此曲线上点P处的切线斜率k.LPQT曲线在P处的切线斜率为:趋于0时的极限.即:函数的增量与自变量增量之比,当自变量的增量LPQT称为曲线L上点P处的切线2曲线的切线的斜率切线的一般定义:设P是曲线L上的一个定点,Q是曲线L上的另一个点,过点P与点Q作一条直线PQ,称PQ为曲线L的割线,当点Q沿着曲线L趋向定点P时,割线PQ的极限位置PTLPQT设曲线L的方程为

3、y=f(x),越接近于k,Δx越小,Q越接近于P,PQ越接近于PT,切线的倾角为α,则有:分析:如图,割线的倾角为θ,求此曲线上点P处的切线斜率k.LPQT曲线在P处的切线斜率为:趋于0时的极限.即:函数的增量与自变量增量之比,当自变量的增量LPQT二、导数的定义定义设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义。如果极限存在，则称函数f(x)在点x0处可导，且称此极限值为函数f(x)在点x0处的导数，记为f(x0)，即如果上述极限不存在，则称函数f(x)在点x0处不可导。但如果上述极限是无穷大，则我们也称函数y=f(x)

4、在点x0处的导数为无穷大．导数的其它符号：函数的导数：导数的其它定义式：。例1．求函数y=x2在点x=2处的导数。方法二解：方法一函数在一区间上的导数：如果函数f(x)在区间I内每一点都可导，则称f(x)在区间I内可导，这时，对于区间I内每一点x，都有一个确定的导数值与它对应，这就定义了一个新的函数，这个函数称为函数y=f(x)的导函数，简称为导数，记作导函数的定义式：f(x0)与f(x)之间的关系：定义设函数y=f(x)在x0的某邻域内有定义,为f(x)在点x0处的左导数，记作f-(x0)。为f(x)在点x0处的右

5、导数，记作f+(x0)。左右导数：如果函数f(x)在开区间(a,b)内可导，且右导数f+(a)和左导数f-(b)都存在，就说f(x)有闭区间[a,b]上可导。显然，当且仅当函数在一点的左、右导数存在且相等时，函数在该点才是可导的。导数与左右导数的关系：左右导数：函数在闭区间上的可导性：步骤:三、由定义求导数举例例2．求函数f(x)=C（C为常数）的导数。解：即(C)=0。1.常数的导数：(C)=0.例3．例4．解：解：2.幂函数的导数：例5解更一般地例如,2.幂函数的导数：例6．求函数f(x)=sinx的导数。=

6、cosx。类似地可求得(cosx)=-sinx。即(sinx)=cosx。解：3.正弦余弦函数的导数：(sinx)=cosx，(cosx)=-sinx。例7．求函数f(x)=ax(a>0，a1)的导数。4.指数函数的导数：(ax)=axlna，(ex)=ex。例8．求对数函数y=logax的导数。解：5.对数函数的导数：四、导数的几何意义aOxyy=f(x)f(x0)x0M切线T法线切线方程为：y-y0=f(x0)(x-x0)。法线方程为：函数y=f(x)在点x0处的导数f(x0)在几何上表示曲线y=f(

7、x)在点M(x0,f(x0))处的切线的斜率，即f(x0)=tana，其中a是切线的倾角。。例9．求等边双曲线xy1=在点2),21(处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程．五、函数的可导性与连续性的关系如果函数y=f(x)在点x0处可导，则它在点x0处一定连续。这是因为注意：这个定理的逆定理不成立，即函数y=f(x)在点x0处连续，但在点x0处不一定可导。这是因为函数在点x=0处导数为无穷大：xyO连续但不可导的函数：例10．函数3)(xxfy==在区间内连续，但在点x=0处不可导。(-,+)+¥=-=

8、-+®®hhhfhfhh0lim)0()0(lim300。这是因为例11．函数y=

9、x

10、在区间(-,+)内连续，但在点x=0处不可导。连续但不可导的函数：例12解§2.2求导法则两个可导函数之和(差)的导数等这两个函数的导数的和(差)：[u(x)v(x)]=u(x)v(x)。两个可导函数乘