泛函分析期末复习提要.doc

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1、泛函分析期末复习提要一、距离空间与拓扑空间(一)教学内容　　1.距离空间的基本概念：定义与例子、收敛性、距离空间的连续映射与等距。　　2.距离空间中的点集：开集与闭集、稠密子集，可分距离空间。　　3.完备距离空间：列，完备性、闭球套定理、纲，纲定理、距离空间完备化。4.压缩映射原理：不动点，压缩映射原理、压缩原理的一些应用。5．拓扑空间的基本概：拓扑空间的定义、拓扑基、拓扑空间中的连续映射，同胚、分离公理。6．紧性和距离空间的紧性：紧性的概念、紧空间的连续映射。7．距离空间的紧性：列紧集，全有界集、定理。　　重点　掌握距离空间的基本概念、距离空间中的点集、完备距离空间、压缩映射原理

2、、拓扑空间的基本概念、紧性和距离空间的紧性。　　难点　完备距离空间、压缩映射原理。(二)教学基本要求　　1.理解距离空间、距离空间中的点集等基本概念。　　2.了解完备距离空间的概念，掌握压缩映射原理的证明。　　3.理解拓扑空间的基本概念及其运算性质。二、赋范线性空间(一)教学内容　1.赋范空间的基本概念：赋范空间的定义、赋范空间的基本性、凸集、赋范空间的例。　　2.空间：不等式与不等式、空间、空间。　　3.赋范空间进一步的性质：赋范空间的子空间、赋范空间的完备化、赋范空间的商空间、赋范空间的乘积、赋范线性空间的基本概念、等价范数。　　4.有穷维赋范空间。　　重点　赋范空间的定义、

3、赋范空间的基本性、凸集、赋范空间的例、不等式与不等式、空间、空间、赋范空间的子空间、赋范空间的完备化、赋范空间的商空间、赋范空间的乘积、赋范线性空间的基本概念、等价范数。难点　不等式与不等式、赋范空间的完备化、空间、空间。(二)教学基本要求　　1.理解赋范空间的定义、赋范空间的基本性、凸集、赋范空间的子空间、赋范线性空间的基本概念、等价范数。　　2.熟练掌握不等式与不等式。三、有界线性算子(一)教学内容　　1.有界线性算子与有界线性泛函：定义与例、有界线性算子空间。2.定理及其某些应用。3.开映射定理与闭图像定理：逆算子、线性算子的谱、开映射定理、闭图像定理。4．定理及其推论：定理

4、、共轭空间与共轭算子。5．某些赋范空间上有界线性泛函的一般形式：空间上的有界线性泛函、空间上的有界线性泛函、空间上的有界线性泛函。6．自反性与弱收敛：自反性、弱收敛。7．紧算子：定义、紧算子的基本性质。　　重点　有界线性算子空间、逆算子、线性算子的谱、开映射定理、闭图像定理、空间上的有界线性泛函、空间上的有界线性泛函、空间上的有界线性泛函、定义、紧算子的基本性质。难点定理、共轭空间与共轭算子。(二)教学基本要求　　1.了解定义与例、有界线性算子空间。　　2.理解定理、逆算子、线性算子的谱、开映射定理、闭图像定理。　　3.理解空间上的有界线性泛函、空间上的有界线性泛函、空间上的有界

5、线性泛函。　　4.了解自反性、弱收敛。四、空间(一)教学内容　　1.内积空间的基本性质。　　2.正交性，正交系：正交性、正交系、可分空间的同构。　　3.表示定理，空间的共轭空间：表示定理、空间的共轭空间。　　4.空间中的自共轭紧算子。　　重点　内积空间的基本性质、正交性、正交系、可分空间的同构、表示定理、空间的共轭空间、空间中的自共轭紧算子。难点　表示定理、空间的共轭空间。(二)教学基本要求　　1.了解内积空间的基本性质、正交性、正交系。　　2.理解可分空间的同构、表示定理、空间的共轭空间。3.理解空间中的自共轭紧算子。五、拓扑线性空间(一)教学内容　　1.拓扑线性空间的基本性质

6、：定义、分离性、平衡集，有界集、距离化、有界线性算子。　　2.半范数、局部凸空间：半范数、局部凸空间。　　3.弱拓扑：分离定理、拓扑线性空间上的弱拓扑、共轭空间上的弱拓扑、凸集的端点。　　重点　拓扑线性空间的基本性质、半范数、局部凸空间、分离定理、拓扑线性空间上的弱拓扑、共轭空间上的弱拓扑、凸集的端点。难点　分离定理、拓扑线性空间上的弱拓扑、共轭空间上的弱拓扑、凸集的端点。(二)教学基本要求　　1.了解定义、分离性、平衡集，有界集、距离化、有界线性算子。2.理解半范数、局部凸空间。3.理解分离定理、拓扑线性空间上的弱拓扑、共轭空间上的弱拓扑、凸集的端点。六　代数(一)教学内容　　

7、1.定义与例。　　2.正则点与谱：定义、谱的性质。3.极大理想与商代数：极大理想、商代数。4．交换代数的基本定理：连续线性可乘泛函、对合　　重点　定义与例、正则点与谱、极大理想、商代数、连续线性可乘泛函、对合。难点　谱的性质、极大理想、商代数。(二)教学基本要求　　1.了解定义、谱的性质。2.理解极大理想、商代数。3.理解连续线性可乘泛函、对合。