泛函分析期末试题付

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1、(时间:120分山东师范大学试题共100分)Id—H甘ooooe痘」起包安课程编号：4081331课程名称：泛函分析适用年级：2008学制：四适用专业：数学与应用数学试题号—・二三阅卷人复核人得分题类別:得分阅卷人考生注意事项1、全题三个大题，22个小题。判断正确(J)与错误(X)(本题10个小题，每题3分，共3()分):Qv—vT11、()丘中定义距离p(x,y)=/一"点列｛-｝是基木列。⑴当x*。n2、()离散距离空间。设X是一个非空集合，在X上定义p(x9y)=^X=y'，则X⑴当xHy。按。成为一完备距离空间。3、()

2、距离空间中总有B(x,r)=B(x,r)o4、()(4)T:XtX

3、是连续映射的充要条件是：X

4、中每个开集G的原象T_,(G)是X中开集。5、()完备的距离空间能表示成可列个稀疏集的并。6、()有界数列空间加可分。7、()设乂是距离空间，MuX,如果M对Vg>0,都有可列个点组成的£一网存在，则称M为全有界的。&()有界线性算子列一致收敛则必强收敛。9、()设厶，坊是Banach空间，D包含于耳，T:P->£2是线性算子，若D=D(T)是Q中闭子空间，则T连续。10、(）设己是赋范线性空间。xoe£,如果对任何/eE*,都有/*

5、（兀0）=0,则兀°=0。得分阅卷人（本题共5个小题，1、2、3每题10分，4、5每题20分）：1、设X和Y都是Banach空间，证明乘积空间XxY,赋有范数

6、

7、(x,y)

8、

9、=x

10、+J0(x,y)GXxy,是Banach空间。2、Fredholm型线性积分力程解的存在唯一性问题。考察Fredholm型方程(p(x)-Aj^k(x,y)(p(y)dy=f(x)o(*)其中/(x)w厶2(a,b).R(x,y)可测且满足

11、k(x,y)

12、2dxdy=M

13、渥3、证明：全有界集必可分。ooq4、设给出了无穷矩阵(aij),i,j=l,2,3……满足条件工闯<00……(*),其中q>l.设X=(X[,X2,…)G卩，令y.=£q内，y=(/，儿，…)，定义％=y,则T是映整个”吉入卩的有界线性算子。4、设p>l,g(r)是区间a,b]±的可测函数。如果对任何(l/“+l/g=l),积分恒存在，那么g(Jw芒肚闰。b]%-內陆(兀,y)『dy错误4、止确5、错误6、错误7、错误8

14、、止确9、错误10、止确二、1证：设｛（墀幽阿西勿RY由于（H，儿）一（几，儿）=暫，心）一（儿，儿）=£一兀“+儿一儿；所以对所有，njn>lf有xn-xm<（xn-yn）-（xm-儿）,儿一儿§（x“一儿）一（兀”一儿）。所以｛£｝，｛儿｝分别是X和Y的柯西列。因为X和Y是Banach空间，所以他们都收敛。设£Tx且几Ty,贝I」（H，儿）一（兀』）=兀“一兀,儿一y）=xn-x+儿一yt0。即在XxY中（£，儿）T（x,y）,这就证明了要征的结果。h2、证：令X=F=L7［a,h］及T/O）=/（兀）+几Jk（x,y）0（

15、y）dy。显然丁映尸入F。题目方程a在［｝［a,h］中的解等价丁•由上式所定义的映射T的不动点。利用Schwa门不等式对任意％（x）,輕(兀)wF有T(p、(x)-T(P2(x)=R

16、{j”(x,y)@(y)-02(y))dydx}%%a）=R

17、m%

18、®（x）-02（兀）

19、注意到S

20、M%vl，根据定理1,T在I：［a,b］中有唯一•不动点0（切，即原方程在Z?［a,b］中有唯一解0（X）o3、证：设A为空间X的全有界集，即0£〉0,日有限个点州……心组成的£一网，即对每个自然数n,存在M的一个有限丄一网，&]ni0屯｝=A”uM

21、,然后令4=[J观，则AuM,i=且A至多可列，显然A在M中稠密。事实上,故M是町分的。00证：由条件（*）,利用Holder不等式知开=工。内绝对收敛，J=1(ooq/=!ooco=mm,/=!j=l(ooqaijkJ=l丿(g>=,qooq;=

22、,故7xgZ

23、

24、7x

25、

26、

27、兀（必（”可积，故由

28、积分控制收敛定理,知M）g“（d可积，并有limFn（x）=£x（t}g[t）dt。所以sup

29、化（对<+oo，故由共鸣定理得因而帆

30、

31、}有界。“TOOn>sup

32、

33、Fj

34、=Mn>然后由F〃(sig咯(怩(旷)=仙叶力＜帆卜signg/Hg/MM-/J1/