北航泛函分析期末

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1、北京航空航天大学本科生期末试卷泛函分析（２０１１．６．２２）本试题卷共２页。全卷满分１００分。考试用时１１０分钟。一、判断题：每小题４分，共２０分．１．设犡是赋范线性空间．犡的单位球犛＝｛狓∈犡狘‖狓‖＜１｝是列紧集的充分必要条件是犡是有限维的．２．设犎是内积空间，狓，狔∈犎，若狓⊥狔则２２２‖狓＋狔‖＝‖狓‖＋‖狔‖．反之也成立．－１是连续３．设犡，犢都是Ｂａｎａｃｈ空间，犜是犡到犢的有界线性算子．如果犜是既单且满的，则犜的．４．设犡，犢都是赋范线性空间，｛犜α｝α∈Λ是从犡到犢的一族有界线性算子．如果

2、ｓｕｐ‖犜α狓‖＜＋∞，狓∈犡，α∈Λ则ｓｕｐ‖犜α‖＜＋∞．α∈Λ５．设犡是完备距离空间，犜：犡→犡满足对所有的狓，狔∈犡，有犱（犜狓，犜狔）≤狇犱（狓，狔），狇＞０，则犜在犡中必有唯一的不动点．二、选择题：每小题４分，共２０分．１．假设犕为距离空间犡中的列紧集合，则下述论断未必成立的是（Ａ）犕是紧集（Ｂ）犕是完全有界集（Ｃ）犕是可分的（Ｄ）犕中任何序列都含有收敛子列２．设〈犡，‖‖〉是赋范线性空间，犡′表示犡的对偶空间，狓，狔∈犡．则下述论断不一定成立的是（Ａ）如果‖狓－狔‖＝０，则狓＝狔（Ｂ）‖狓

3、＋狔‖≤‖狓‖＋‖狔‖（Ｃ）‖狓＋狔‖２２２２）＋‖狓－狔‖≤＝２（‖狓‖＋‖狔‖（Ｄ）如果对任何犳∈犡′都有犳（狓）＝犳（狔），则狓＝狔—１—３．设犲１，犲２，…，犲狀，…是Ｈｉｌｂｅｒｔ空间犎的一个正规正交集，则下述论断未必成立的是（Ａ）犲１，犲２，…，犲狀，…线性无关∞（Ｂ）狓∈犎，２２∑狘（狓，犲狀）狘＝‖狓‖狀＝１犖犖犖（Ｃ）设α１，α２，…，α犖，β１，β２，…，β犖是任何两组复数，则（∑α狀犲狀，∑β狀犲狀）＝∑α狀β珋狀，狀＝１狀＝１狀＝１烄１，犻＝犼（Ｄ）（犲犻，犲犼）＝烅（犻，犼＝１

4、，２，…）烆０，犻≠犼．４．设犳是距离空间犡到距离空间犢的连续函数，则下述论断未必成立的是（Ａ）犳将开集映为开集（Ｂ）犳将紧集映为紧集（Ｃ）设犗为犢中闭集，则犳－１（犗）为犡中闭集（Ｄ）设犗为犢中开集，则犳－１（犗）为犡中开集５．设犜是Ｂａｎａｃｈ空间犡上有界线性算子，犜′是犜的Ｂａｎａｃｈ共轭算子，则下述论断不一定成立的是（Ａ）犖（犜）＝°犚（犜′）（Ｂ）犚（犜）＝°犚（犜′）（Ｃ）犚（犜′）＝犖（犜）°（Ｄ）犖（犜′）＝犚（犜）°三、（２０分，每小题１０分）１．设狓，狔是Ｈｉｌｂｅｒｔ空间犎中两个非零

5、元．试证明：狓与狔正交的充分必要条件是对任意数α，‖狓＋α狔‖≥‖狓‖．２．设犡是有限维赋范空间，试证明：犡的对偶空间犡′也是有限维的．四、（２０分，每小题１０分）２按距离１．证明空间犾∞１２２，狓＝｛｝，狔＝｛｝∈犾２犱（狓，狔）＝（∑狘ξ犼－η犼狘）ξ犼η犼犼＝１是完备距离空间．２上线性算子犜如下：２．定义犾犜：狓＝｛ξ１，ξ２，…，ξ狀，…｝→犜狓＝｛０，ξ１，ξ２，…，ξ狀＋１，…｝求犜，犜′．五、（２０分）设犡，犢都是Ｂａｎａｃｈ空间，犜∈犔（犡，犢）且犜是单射．证明：犜－１有界的充分必要条件

6、是犚（犜）为犢中闭集．—２—北京航空航天大学本科生期末试卷泛函分析（２０１２．６．２０）本试题卷共２页。全卷满分１００分。考试用时１２０分钟。一、判断题：每小题４分，共２０分．１．完备度量空间是第二纲的．２．若存在保范同构映射τ将犡变为犡，则犡是自反的．３．设在同一线性空间犡上存在两个范数‖·‖和‖·‖１，它们都使犡成为赋范线性空间，如果‖·‖强于‖·‖１，则‖·‖与‖·‖１等价．４．设犡是赋范线性空间，犈是犡的子空间．如果狓０犈，则必存在犡上的连续线性泛函犳，使犳（狓）＝０，当狓∈犈；犳（狓０）＝

7、犱；‖犳‖＝１．其中犱＝ｉｎｆ｛‖狓０－狔‖｝．狔∈犈５．设犡是Ｂａｎａｃｈ空间，｛狓狀｝狀∞＝１犡，狓∈犡，则狓狀弱收敛于狓的充分必要条件是①｛‖狓狀‖｝狀∞＝１有界；②存在犡′中一个可数稠密子集犕′，使得ｌｉｍ犳（狓狀）＝犳（狓），当犳∈犕′．狀二、选择题：每小题４分，共２０分．１．假设犕为距离空间犡中的完全有界集合，则下述论断一定成立的是（Ａ）犕是紧集（Ｂ）犕是列紧集（Ｃ）犕是可分的（Ｄ）犕中任何序列都含有收敛子列２．设犲１，犲２，…，犲狀，…是Ｈｉｌｂｅｒｔ空间犎的一个正规正交集，则下述论断未必

8、成立的是（Ａ）犲１，犲２，…，犲狀，…线性无关∞（Ｂ）狓∈犎，２２∑狘（狓，犲狀）狘＝‖狓‖狀＝１∞（Ｃ）狓∈犎，级数∑（狓，犲狀）犲狀按犎中范数收敛狀＝１（Ｄ）若狓∈犎，当（狓，犲狀）＝０，（狀＝１，２，…）必有狓＝０，则｛犲１，…，犲狀，…｝是犎的一个正规正交基３．设犳是距离空间犡到距离空间犢的连续函数，则下述论断未必成立的是（Ａ）犳将犡中有界集映为犢中有界集（Ｂ）若犡是紧空间，犳在犡上可达到上下确界（Ｃ）设犗为犢中