泛函分析期末复习提要

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1、泛函分析期末复习提要一、距离空间与拓扑空间（一）教学内容1.距离空间的基本概念：定义与例子、收敛性、距离空间的连续映射与等距。2.距离空间中的点集：开集与闭集、稠密子集，可分距离空间。3.完备距离空间：Cauc/巧列，完备性、闭球套定理、纲，纲定理、距离空间完备化。4.压缩映射原理：不动点，压缩映射原理、压缩原理的一些应用。5.拓扑空间的基本概：拓扑空间的定义、拓扑基、拓扑空间中的连续映射,同胚、分离公理。6.紧性和距离空间的紧性：紧性的概念、紧空间的连续映射。7.距离空间的紧性：列紧集，全有界集、Arzela定理。重点掌握距离空间的基本概念、距离空间中的点集、完备距离空间、压缩映射原理、

2、拓扑空间的基本概念、紧性和距离空间的紧性。难点完备距离空间、压缩映射原理。（-）教学基本要求1・理解距离空间、距离空间中的点集等基木概念。2•了解完备距离空间的概念，掌握压缩映射原理的证明。3.理解拓扑空间的基木概念及其运算性质。二、赋范线性空间（一）教学内容1.赋范空间的基本概念：赋范空间的定义、赋范空间的基本性、凸集、赋范空间的例。2.空间Lp（p>）：Holder不等式与Minkowski不等式、空间r（E）（p>i）.空间r（E）o3•赋范空间进一步的性质：赋范空间的子空间、赋范空间的完备化、赋范空间的商空间、赋范空间的乘积、赋范线性空间的基本概念、等价范数。4.有穷维赋范空间。

3、重点赋范空间的定义、赋范空间的基本性、凸集、赋范空间的例、Holder不等式与Minkowski不等式、空间（£）（/?>1）>空间匕（E）、赋范空间的子空间、赋范空间的完备化、赋范空间的商空间、赋范空间的乘积、赋范线性空间的基本概念、等价范数。难点Holder不等式与Minkowski不等式、赋范空间的完备化、空间r（E）（p>i）.空间r（E）o(-)教学基本要求1•理解赋范空间的定义、赋范空间的基本性、凸集、赋范空间的子空间、赋范线性空间的基本概念、等价范数。2.熟练学握Holder不等式与Minkowski不等式。三、有界线性算子(一)教学内容1.有界线性算子与有界线性泛函：定义与

4、例、有界线性算子空间。2.Banach-Steinhaus定理及其某些应用。3.开映射定理与闭图像定理：逆算了、线性算了的谱、开映射定理、闭图像定理。4.Hahn-Banach定理及其推论：Hahn-Banach定理、共辘空间与共辘算了。5.某些赋范空间上有界线性泛函的一般形式：空间C[d,b]上的有界线性泛函、空间〃[d,b](lvp

5、的有界线性泛函、定义、紧算子的基木性质。难点Hahn-Banach定理、共辘空间与共辘算子。(-)教学基本要求1•了解定义与例、有界线性算子空间。2.理解Banach-Steinhaus定理、逆算子、线性算子的谱、开映射定理、闭图像定理。3.理解空间C[a,b]上的有界线性泛函、空间F[d,b](l

6、t空间屮的自共轨紧算子。重点内积空间的基本性质、正交性、正交系、可分空间的同构、Riesz表示定理、空间的共轨空间、Hilbert空间小的自共辄紧算子。难点Riesz表示定理、空间的共轨空间。（-）教学基本要求1.了解内积空间的基本性质、正交性、正交系。2.理解可分空间的同构、Riesz表示定理、空间的共轨空间。3.理解Hilbert空间中的自共轨紧算子。五、拓扑线性空间（一）教学内容1.拓扑线性空间的基木性质：定义、分离性、平衡集，有界集、距离化、有界线性算了。2.半范数、局部凸空间：半范数、局部凸空间。3.弱拓扑：分离定理、拓扑线性空间上的弱拓扑、共辄空间上的弱拓扑、凸集的端点。重点拓

7、扑线性空间的基木性质、半范数、局部凸空间、分离定理、拓扑线性空间上的弱拓扑、共辄空间上的弱拓扑、凸集的端点。难点分离定理、拓扑线性空间上的弱拓扑、共辘空间上的弱拓扑、凸集的端点。（二）教学基本要求1.了解定义、分离性、平衡集，有界集、距离化、有界线性算子。2.理解半范数、局部凸空间。3.理解分离定理、拓扑线性空间上的弱拓扑、共轨空间上的弱拓扑、凸集的端点。六Banach代数（一）教学内容1.Banach定义与例。2.正则