泛函分析复习与总结

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1、《泛函分析》复习与总结(2014年6月26日星期四10:20---11:50)第一部分空间及其性质泛函分析的主要内容分为空间和算子两大部分.空间包括泛函分析所学过的各种抽象空间,函数空间,向量空间等,也包括空间的性质,例如完备性,紧性,线性性质,空间中集合的各种性质等等。以下几点是对第一部分内容的归纳和总结。一．空间（1）距离空间（集合+距离）！验证距离的三个条件：称为是距离空间，如果对于(i)【非负性】，并且当且仅当【正定性】；(ii)【对称性】；(iii)【三角不等式】。距离空间的典型代表：空间、空间、所有的赋范线性空间、所有的内积空间。（2）赋

2、范线性空间（线性空间+范数）！验证范数的三个条件：称为是赋范线性空间，如果是数域（或）上的线性空间，对于和，成立(i)【非负性】，并且当且仅当【正定性】；(ii)【齐次性】；(iii)【三角不等式】。8赋范线性空间的典型代表：空间（）、空间（）、空间（）、空间（）、空间、空间、Banach空间、所有的内积空间（范数是由内积导出的范数）。（3）内积空间（线性空间+内积）！验证内积的四个条件：称为是内积空间，如果是数域（或）上的线性空间，对于和，成立(i)【非负性】，并且当且仅当【正定性】；(ii)【第一变元可加性】；(iii)【第一变元齐次性】；(iv

3、)【共轭对称性】。内积空间的典型代表：空间（）、空间（）、空间、空间。注.1)从概念的外延来理解,有如下的关系:{内积空间}{赋范线性空间}{距离空间}.2)内积可导出范数,范数可导出距离,反之未必.例如在赋范线性空间中,如果范数满足平行四边形公式,则由范数可以定义内积.3)在距离空间中，，当；赋范线性空间中，，当；内积空间中，，当.8重点.！要求会验证距离,范数和内积.二．完备性，稠密性，可分性（1）！完备性距离的完备性是指“空间中的任何基本列都是收敛的”具有完备性的距离空间称为完备距离空间；完备的赋范线性空间称为Banach空间；完备的内积性空间

4、称为Hilbert空间.重点.验证一个距离是否完备是泛函分析基本的技能。注.距离空间的*完备化不是本课程的重点.（2）稠密性若,则称在中稠密.当时,也称是的稠密子集.关于在中稠密的等价命题:在中稠密,存在,使得;,.（3）！可分性如果有可数的稠密子集,则称具有可分性.类似地可以定义可分的距离空间,可分的赋范线性空间,可分的内积空间等.不具有可分性的空间称为不可分空间.可分空间的典型代表：空间（）、空间（）、空间（）、空间（）、空间、空间.不可分空间的典型代表：空间、空间.重点.要求会找出具体的可分空间中可数稠子集.掌握不可分空间的证明方法.！不可分空

5、间的证明方法:如果空间中含有一个不可数子集8,且其中任何两个不同点之间的距离大等于一个确定的正数,则是不可分的.（例如中这样的集合是分量为零和1的无穷维向量全体；中这样的集合是上的集特征函数全体）三空间中的集合（1）开集、闭集、有界集、无界集；（2）疏朗集、稠密集；（3）列紧集！、完全有界集！、紧集.具体空间中列紧集的判别条件：a．和或有限维赋范线性空间中：Weierstrass定理（有界集是列紧集）;b.！中：Arzela-Ascoli定理（一致有界且等度连续）；（4）内积空间中的正交集，！正交基.Parseval恒等式、Bessel不等式。（5）

6、有限维赋范线性空间的性质：1.有界集即列紧集；2.有限维赋范线性空间中任何两个范数都是等价的。四具体的空间已经学过的具体空间有：u空间（）;u空间（）;u空间（）;u空间（）;u空间;u空间。注.1.要求掌握每个具体空间中收敛的含义；8(例如有限维赋范线性空间中点列按范数收敛意味着每个分量收敛、点列的收敛意味着函数列的一致收敛等等)。2.！要求掌握列紧集的判别方法（仅限于有限维赋范线性空间中Weierstrass定理和空间中的Arzela-Ascoli定理）；3.！要求掌握具体空间中距离或范数完备性的证明方法；（的完备性证明不作要求）4.会用Hold

7、er不等式、Minkowski不等式、Cauchy不等式、Schwartz不等式和Bessel不等式等；5.具体空间的共轭空间，仅限于要求掌握：！空间（）的共轭空间（泛函的表示形式，等距同构，证明不作要求）；空间（）的共轭空间（泛函的表示形式，等距同构，证明不作要求）；第二部分映射算子泛函泛函分析的主要内容分为空间和算子两大部分.算子部分包括泛函分析所学过的各种抽象或具体的映射，算子，泛函等。也涉及到与之相关的性质和众多重要的定理,例如共鸣定理，闭图像定理，开映射定理以及泛函延拓定理等等。以下几点是对第二部分内容的归纳和总结。一.泛函分析中的映射在泛

8、函分析中,映射当是空间时称为算子;当是空间,是数域(或)时称为泛函;当是线性空间时,主要考虑线性算子:,,;