应用泛函分析复习小结.doc

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1、第一章实分析概要本章将简要的介绍数学分析与实变函数的一些基础知识，特别是点集的勒贝格测度与勒贝格积分理论。这些知识不仅是学习泛函分析的必要准备，而且在数学及其它学科中有直接的应用。第一节集合及其运算第二节实数的完备性第三节可数集与不可数集第四节直线上的点集与连续函数第五节点集的勒贝格测度与可测函数1第六节勒贝格积分第一节集合及其运算1）A∪A=A,A∩A=A;2）A∪Φ=A,A∩Φ=Φ；3）若A⊂B，则A∪B=B,A∩B=A,AB=Φ；4)设X为基本集，则A∪AC=X,A∩AC=Φ,(AC)C=A,AB=A∩BC又若A⊂B，则AC⊃BC。

2、集合的运算法则：2交换律A∪B=B∪A,A∩B=B∩A；结合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C)=A∪B∪C；(A∩B)∩C=A∩(B∩C)=A∩B∩C；分配律(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)；(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)；(AB)∩C=(A∩C)(B∩C).定理1.1设X为基本集，Aα为任意集组，则1)(UAα)C=I(Aα)C(1.6)α∈Iα∈I2)(IAα)C=U(Aα)C(1.7)α∈Iα∈IA(AB)=AIB3第二节实数的完备性2.1有理数的稠密性2.2实数的完备性定理定义2.1(闭区间套)设{[an,bn]}

3、(n=1,2,L,)是一列闭区间，an

4、先介绍一个有关的概念。命题2.1设{xn}是一个数列，则limxn=a的充分必要条件是：n→∞{xn}的每一个子列都收敛而且有相同的极限值a.5定理2.2（列紧性定理）√任何有界数列必有收敛子列定义2.3设{xn}是一个数列，如果当m,n→∞时，有xm−xn→0，那么就说{xn}是一个基本数列或柯西数列。定理2.3柯西（Cauchy）收敛原理(完备性定理)√数列{xn}收敛的充分必要条件是，它是一个基本数列。定理2.4(单调收敛定理)√单调有界数列（即单调增有上界数列或单调减有下界数列）必然收敛定义2.4(确界)设A是一个数集，M是A的一个上

5、（下）界。如果对任意的ε>0，必存在6A中的数xε，使得xε>M−ε(xε

6、a∈I}是一个区间族，其中区间σa可以是开的，闭的或者半开半闭的，而指标集I可以是有限集，也可以是无限集。如果[a,b]中的每一点必含于区间族Α的某一区间σa之中，那么就称Α覆盖区间[a,b]，或者区间[a,b]被Α覆盖。定理2.6（有限覆盖定理）(不讲)若闭区间[a,b]被区间族Α覆盖，则能从Α中选出有

7、限个开区间覆盖[a,b]。7上面我们介绍了刻画实数完备性的六个定理，它们是按这样的逻辑顺序进行的：从定理2.1(区间套定理)出发，推出定理2.2（列紧性定理），又从定理2.2推出定理2.3柯西（Cauchy）收敛原理(完备性定理)，又从定理2.3推出定理2.4(单调收敛定理)，又从定理2.4推出定理2.5确界存在定理)，最后，从定理2.5推出定理2.6（有限覆盖定理）第三节可数集与不可数集3.1映射定义3.1设A与B是两个非空集合，如果按照一定的法则f，对于A中的每个元8x，都存在B中的一个确定的元y与x相对应，那么我们称f为定义A上取值于B

8、中的一个映射，记作y=f(x)。y称为x在映射f下的象，对于固定的y，A中适合关系式y=f(x)的x的全体称为y的原象。集A称为映射f的定义域，f(A)={f(x)

9、x∈A}称为映射f的值域，一般f(A)⊂B。为方便起见，今后常将把从集A到f(A)⊂B的映射写成f:A→B特别，若B是一个数集，此时映射f称为泛函；若A与B都是数集，f就是通常的函数。93.2可数集与不可数集，集合的势定理3.1有理数集是可数集。定理3.3可数个可数集的并是可数集。定理3.4区间[0,1]中的点是不可数的。第四节直线上的点集与连续函数本节先讨论直线上的点集的基本性

10、质，然后，在此基础上研究4.1开集、闭集及其性质104.2开集的构造4.3点集上的连续函数，函数的一致连续性4.4函数列的一致收敛性4.1开集、闭集及其性质定义4.