应用泛函分析

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1、科学版研究生教学丛书应用泛函分析姚泽清苏晓冰郑琴王在华编著北京内容简介本书是为工学研究生“应用泛函分析”课程而编写的教材，全书共分六章，分别介绍实分析基础、距离空间、赋范空间与Banach空间、内积空间与Hilbert空间、有界线性算子的基本理论、有界线性算子的谱分析等内容．全书概念简洁，内容紧凑，在强调泛函分析方法的概括性与应用的普适性的同时，突出数学思维方式的训练和数学素养的培养，恢复数学自然、生动、充满活力的本来面目．书中每节末都附有难易适中的习题，并在书末附有详尽的习题答案，以供科技工作者自学和教师参考使用．本书的起点低，只需

2、要读者具备高等数学和线性代数的基础知识，可作为工学研究生和应用数学、信息与计算科学、应用物理等专业的本科生的教学用书，也可供对泛函分析方法有兴趣的科技工作者阅读．图书在版编目（CIP）数据应用泛函分析／姚泽清等编著．—北京：科学出版社，２００７　（科学版研究生教学丛书）ISBN９７８唱７唱０３唱０１９８４８唱８　Ⅰ．应…　Ⅱ．姚…　Ⅲ．泛函分析唱高等学校唱教材　Ⅳ．O１７７中国版本图书馆CIP数据核字（２００７）第１３５１１７号责任编辑：姚莉丽／责任校对：张怡君责任印制：张克忠／封面设计：陈敬出版北京东黄城根北街１６号邮政编码：１００

3、７１７http：／／www．sciencep．com中国科学院印刷厂印刷科学出版社发行各地新华书店经销　倡２００７年９月第一版开本：B５（７２０×１０００）２００７年９月第一次印刷印张：１５１／４印数：１—３５００　　字数：２８９０００定价：20畅00元（如有印装质量问题，我社负责调换枙科印枛）前言泛函分析是从变分法、积分方程以及量子物理等的研究中发展起来的数学分支，形成于２０世纪３０年代．它综合运用函数论、几何学、代数学的观点和方法来研究无限维向量空间（如函数空间）上的泛函、算子及其极限理论，并不断地以其他众多学科所提供的素材来提取

4、自己的研究对象，它在概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、最优化理论、控制论和信号处理等学科中都有重要的应用，强有力地推动着其他关联学科的发展．今天，它的空间理论、算子理论和谱理论等已经渗透到不少工程技术性的学科中，成为近代分析的基础之一．①泛函分析是Euclid空间上的微积分学和解析几何学的自然延伸，实际上在高等数学中我们已经接触到泛函的概念，只是没有挑明而已．例如，实连续函数f（x）在区间［a，b］上的积分bJ（f）＝∫f（x）dxa就是一个泛函数，它的取值是实数，但它的变元却由实数变成了实函数．这种函数的函数是泛函分析最早研究

5、的对象，并随着求形如bJ（y）＝∫F（x，y，y′）dxa的泛函的极值（即所谓变分法）而发展起来．历史上最有名的泛函极值问题是John②Bernoulli在１６９６年提出的最速降线问题．③１６９７年JohnBernoulli的哥哥JamesBernoulli给出了最速降线问题的解答．它的基本问题是这样的：设O和P是铅直平面xOy内的两个点，一质点在重力作用下从O点沿一曲线滑落到P点，假定无摩擦和其他阻力，曲线呈何形状时其滑落的时间最短（见图０唱１）？实际上，若设曲线方程为y＝y（x），则总图０唱１　最速降线问题的下降时间为①欧几里得（

6、约公元前３３０～前２７５年），古希腊数学家，欧几里得几何学的创始人．②约翰·伯努利（１６６７～１７４８年），瑞士数学家，变分法的创始人之一．③詹姆士·伯努利（１６５４～１７０５年），瑞士数学家，变分法和概率论的创始人之一．　·ii·前言a２ds１＋（y′）T（y）＝∫＝dx，Lv∫０v再由能量守恒定律１２mv＝mgy，２v＝２gy，就有a２１１＋（y′）T（y）＝∫dx，２g０y此即为y的一个泛函．可以证明，当y为摆线（旋轮线）x＝a（t－sint），y＝a（１－cost）时，T（y）取得极小值．随着时间的推移，泛函分析的研究对象由泛

7、函推广到一般的算子，研究范围也遍及分析学的方方面面，并随着线性算子的谱理论与量子力学中的谱分析惊人的一致而确定了自己的地位．泛函分析成为独立的数学分支的两大标志是：１９３２年①②出版的Banach的枟线性算子理论枠和vonNeumann的枟量子力学的数学基础枠两部划时代著作．尽管泛函分析有着浓厚的应用背景，但很多学生在学习过程中却感到其艰涩难懂，这是由于其高度的抽象性造成的．实际上，以解方程为例，无论是线性方程还是非线性方程，显函数方程还是隐函数方程，常微分方程还是偏微分方程，在泛函分析中都被抽象为算子方程，而算子方程最终又被统一为方

8、程x＝Tx，从而使方程的求解问题转化为求算子T的不动点问题．它在抽象过程中丧失了直观，而又在更高层次上恢复了直观，这正是泛函分析的奇妙之处．泛函分析是一门既能充分体现现代数学思想和方法、体现数学的思维方式和思维过程，又具