应用泛函分析教案1

应用泛函分析教案1

ID:14302254

大小:1.66 MB

页数:28页

时间:2018-07-27

应用泛函分析教案1_第1页
应用泛函分析教案1_第2页
应用泛函分析教案1_第3页
应用泛函分析教案1_第4页
应用泛函分析教案1_第5页
资源描述:

《应用泛函分析教案1》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库

1、第二章度量空间§2.1度量空间的进一步例子教学内容(或课题):目的要求:在复习第二章度量空间基本概念前提下,要求进一步掌握离散度量空间、序列空间、有界函数空间、可测函数空间等.教学过程:一复习度量空间的概念设是个集合,若对于,都有唯一确定的实数与之对应,且满足,=0;+对都成立,则称(,)为度量空间或距离空间,中的元素称为点,条件称为三点不等式.欧氏空间对中任意两点和,规定距离为=.空间表闭区间上实值(或复值)连续函数的全体.对中任意两点,定义=.(空间记=.设,,定义=.二度量空间的进一步例子例1设是任意非空集合,对于,令28=容易验证,=0;+对都成立.称(,)为离散的度量空间.由此可见

2、,在任何非空的集合上总可以定义距离,使它成为度量空间.例2序列空间令表示实数列(或复数列)的全体,对,,令=.显然右边的级数总是收敛的.易知,且=0.即满足条件.对,先证+.实因令(),则因为,所以函数在上单调递增.又因为,所以有=++.再令,,,则.由上述已证的不等式,得+.由此推得+对都成立.故按28成一度量空间.例3有界函数空间设是一个给定的集合,令表示上有界实值(或复值)函数的全体.,定义=.显然,且=0成立,即满足条件.又,有++所以+.即满足条件.特别当时,=.例4可测函数空间设为上实值(或复值)的Lebesgue可测函数的全体,为Lebesgue测度,若,对任意两个可测函数及,

3、由于,故不等式左边为上可积函数.令=.若把中两个几乎处处相等的函数视为中同一个元素,则0且=0,即满足条件.其次(参考例2)==28+=+,对都成立.即满足条件.故按上述距离成为度量空间.作业205.2.4.作业提示2.与例2处理方法类似.4.利用当时的递增性.§2.2(1)度量空间中的极限教学内容(或课题):目的要求:掌握一般的度量空间中的邻域、内点、外点、界点、导集、闭包、开集、闭集、收敛点列等概念,认识具体空间中点列收敛的具体意义.教学过程:设为度量空间,是距离,定义=为的以为半径的开球,亦称为的邻域.例1设是离散的度量空间,是距离,则=仿§2.2-§2.3,设是度量空间中的一个子集,

4、是中一点若存在的某一邻域,s.t.,则称为的28内点.若是的内点,则称为的外点.若内既有的点又有非的点,则称为的边界点.若内都含有无穷多个属于的点,则称为的聚点.的全体聚点所成集合称为的导集,记为.称为的闭包,记为.若的每一点都是的内点,则称为开集.若,则称为闭集.例2在欧氏空间中,记为全体有理数点的集合,为全体无理数点的集合.则集合及均无内点,均无外点;既是又是的界点,既是又是的聚点;既是又是的导集,既是又是的闭包;、既非开集又非闭集.若如同例1,将集合离散化,则都是的内点,都是的内点,因此、在离散空间中均为开集;、均无界点;之外点集合为,之外点集合为;、均无聚点,因此,,,,故、均为闭集

5、.设是中点列,若,s.t.()则称是收敛点列,是点列的极限.收敛点列的极限是唯一的.实因若设既牧敛于又收敛,则因为,而有=0.所以=.附注()式换个表达方式:=28.即当点列极限存在时,距离运算与极限运算可以换序.更一般地有距离是和的连续函数.证明++-+;++-+.所以

6、-

7、+例3设为一度量空间,令=,=.问=?答在空间中,必有=.在离散度量空间中,当时,=,=,此时.毕.设是度量空间中的点集,定义.=为点集的直径.若=,则称为中的有界集(等价于固定,,,为某正数,则为有界集).中的收敛点列是有界集.实因,设,则数列收敛于0,故,s.t.有28.所以,有+.中的闭集可以用点列极限来定义:为

8、闭集中任何收敛点列的极限都在中,即若,,,则.具体空间中点列收敛的具体意义:1.欧氏空间=,,为中的点列,=,=.对每个,有.2.设,,则=在一致收敛于.3.序列空间设=,,及=分别是中的点列及点,则依坐标收敛于.实因,若对每个有,则因收敛,所以,s.t..因为对每个,存在28,s.t.当时.令,当时,成立.所以当时,成立=++=.所以反之,若,即=.又因为,有,所以当时,0所以,,s.t.当时,成立.所以.所以,有.4.可测函数空间设,,则因=,有.实因,若,则,有.(不妨设),取,则28.今对这样取定的及,因,故,s.t.当时,成立.所以=+++=.所以.所以.反之,若,即.对,由于.所

9、以,即.以上各种极限概念不完全一致(依坐标收敛,一致收敛,依测度收敛),引进距离概念之后,都可以统一在度量空间的极限概念之中.作业205.5.作业提示均匀收敛即一致收敛.证明大意如同“序列空间”,并利用=.§2.2(2)度量空间中的稠密集可分空间教学内容(或课题):目的要求:掌握度量空间中的稠密集和可分空间的概念,能正确使用这两个概念.教学过程:Th设是度量空间的一个子集,则集合是个开集,且.证明设,则,s.

当前文档最多预览五页,下载文档查看全文

此文档下载收益归作者所有

当前文档最多预览五页,下载文档查看全文
温馨提示:
1. 部分包含数学公式或PPT动画的文件,查看预览时可能会显示错乱或异常,文件下载后无此问题,请放心下载。
2. 本文档由用户上传,版权归属用户,天天文库负责整理代发布。如果您对本文档版权有争议请及时联系客服。
3. 下载前请仔细阅读文档内容,确认文档内容符合您的需求后进行下载,若出现内容与标题不符可向本站投诉处理。
4. 下载文档时可能由于网络波动等原因无法下载或下载错误,付费完成后未能成功下载的用户请联系客服处理。