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1、§4柯西点列和完备度量空间教学内容(或课题)：目的要求：掌握柯西点列、完备度量空间的概念，学会使用概念和完备度量空间的充要条件判别完备度量空间.教学过程：设是中的点列，若0，，s.t.当时，有=，则称是中的柯西点列.Def1设=(，)是度量空间，是中的点列.若0,，s.t.当时，有，则称是中的柯西点列或基本点列.若度量空间(，)中每个柯西点列都收敛，则称(，)是完备的度量空间.有理数的全体按绝对值距离构成的空间不完备，如点列1,1.4,1,41,在中收敛于，在有理数集中不收敛.但度量空间中每一个收敛点列都是柯西点列.实因若，则0,，s.t.当时，都有.因此当时，有++.
2、所以是柯西点列.例2(表有界实或复数列全体)是完备度量空间.证明设是中的柯西点列，其中=.0,，s.t.当时，都有=(1)因此对每个固定的，当时，成立42(2)于是，是柯西数列.由于实数集或复数集按差的绝对值定义距离是完备的，故存在实或复数，s.t.()令=，往证且.在(2)中，令，得时，成立(3)因为=，所以0，s.t.，成立(不同的数列，界可能不一样).所以+.所以.由(3)知，时，成立.所以.所以是完备度量空间.例2令表示所有收敛的实或复数列的全体，=，=，令=.则0且=时，=0.又==0=().于是=0=.=，则由于对，成立++=+.所以+.即+.所以可定义为中
3、两点间的距离.于是按距离成为度量空间(实际上是的一个子空间).欲证是完备度量空间，先证42Th1完备度量空间的子空间是完备度量空间是中的闭子空间.证明设是完备子空间，对每个，中点列，使.所以是中柯西点列.所以它在中收敛.由极限的唯一性，所以.所以.即是中的闭子空间.反之，若是中柯西点列，因是完备度量空间，则在中收敛.即，s.t..因为是中的闭子空间，所以，所以在中收敛.于是是完备度量空间.例2的证明由Th1只证是中的闭子空间即可.=(要证，从而)，=()，s.t..所以0，，s.t.当时，成立=.特别取，则对，成立.因为,所以当时，收敛.故，s.t.,时，成立.所以,时
4、，成立++++=.所以是柯西数列，因而收敛.所以=.所以是中的闭子空间.由Th1，是完备度量空间.证毕.作业：206.14.15中的.42作业题解：14=1，，s.t.当时，有1,特别当时，有1.又时，只有有限个值故0,s.t..因此，成立+.所以是有界点列.15设是中的柯西点列，=.即0,，s.t.时，成立=()所以，时，成立.因为给0，对于每个固定的，：0，然后由这个，按不等式()，.所以时，对这个固定的，成立.所以().所以是实(复)数集中的柯西点列.而实(复)数集完备,所以收敛，设().记=，则.而，所以完备.设是中的柯西点列，=，.0，，s.t.当时，成立.所
5、以及，成立42.()因此在集上，函数列收敛，设.由()式，令得时，.所以时，++(由于收敛，从而存在).所以，又已证所以是完备度量空间.柯西点列和完备度量空间(续)教学内容(或课题)：目的要求：再次巩固上次课学习的概念与定理，进一步掌握使用概念及定理判别完备度量空间的常用方法.教学过程：是完备的度量空间.证明设，是中的柯西点列.0，，s.t.当时，成立.(4)所以，有.于是当固定时，是柯西数列.由实(复)数集的完备性，，s.t..往证，实因在(4)中令，得知时，成立.(5)所以在42上一致收敛于，从而.由(5)，当时，=.所以，故是完备度量空间.令表示闭区间上实系数多项
6、式全体,作为的子空间是不完备的度量空间.实因多项式列在闭区间上一致收敛于连续的指数函数，但非多项式.即不是的闭子空间.由Th1，不是完备度量空间.证毕.设表示闭区间上连续函数全体，对，令=.易知成为度量空间.实因显然0.若时，，从而=0.反之若=0，即=0.因0，故=于.又因相等的连续函数必然处处相等，故.总之0且=0.=+=+.所以是度量空间.例5上面定义的度量空间不完备.42证明令=先证是中的柯西点列.实因，当时，===.所以点列是中的柯西点列.再证点列在中不收敛.实因对每个，==++.若0,必有==0.但由于在闭区间上连续，得在恒为0，在恒为1.42与在=间断相矛
7、盾.故是不完备的度量空间.作业：206.15.、离散空间.作业解答：设是中的基本点列，0，有=.0，，s.t.，，有.从而.所以0.由此可找到自然数列：，s.t.对都成立.记=,再令=，则-=，=.令，得=0.所以=.显见在上处处收敛于一个极限函数，记这个极限函数为.令=则为上的可测函数，故.当时，由42=，令，由勒贝格有界收敛定理，得.所以.故是完备的度量空间.§5.度量空间的完备化教学内容(或课题)：目的要求：使学生掌握度量空间的完备化定理的条件、结论及其证明方法.教学过程：Der1设(,)，(,)是两个度量空间，若存在到上的保距映照
