2、啲柯西点列或基本点列.若度量空间（X,dY
3、每个柯四点列都收敛，贝I」称（X,〃）是完备的度量空间.有理数的全体按绝对值距离
4、构成的空间不完备，如点列1,1.4,1,41,1.412,…在心屮收敛于血，在有理数集中不收敛.但度量空间中每一个收敛点列都是柯西点列.实因若-»x,贝IJV6：>0,H/V=N（g）wN,s.t.当m,n>N吋，都有d（兀,兀）<彳.因此当n,吋，有心‘心）"（兀，兀）+心，兀）<彳+彳・所以&“｝爲是柯西点列.例2广（表有界实或复数列全体）是完备度量空间•证明设二是厂1啲柯四点列,其中几胡,・•••）•%〉。,BN=N（歸eN,s.t.^m,n>N时，都有〃亿忑）二sup
5、雰）-釧V£（1）因此对每个固定的八吋，成立于是纱),£=1,2,…是柯西数列.由于实数集或复娄嗓按差的绝对值
6、定义距离是完备的，故存在实或复数耳，s.t.鉀令兀=低,§2,…),往证xer且几-»x.在⑵屮，令72T8,得0〃2〉N吋，成立肆)-打5E⑶因为心二(费)，勒)，…，岀)，…)W严’所以m心>0,s.t.V/-eN,成立雰)卜心(不同的数列，界可能不一样).所以£1咔厂聲)
7、"+心.所以a-er.由⑶知，V/??>N吋，成立)=sup#r)S£.J所以心->4所以八是完备度量空间.例2令C表示所有收敛的实或复数列的全体，V“(6，L・・・)wC,▽y二(“1,772,…)wC'令d(兀,y)二sup£-〃厂则l°〃(x,y)no且X二yJ吋，d(x9y)=0.又
8、务一加“叩悅一77」
9、二〃(兀,)，)二0二.•二竹(丿工2.J于是〃(x,y)=oo无二y.2°Vz二(口，6,…)wc,则由于对VjeN,成立攸-加'£一勺-勺IVsup检-^
10、+sup
11、7y一勺=jJd(x,z)+d(y,z)•所以sup出一乞Wd(x,z)+d(y,z)・即JdG，y)Sd6，z)+d(y,z)・所以d(y)可定义为C'pV两点间的距离.于是C按距离d(x,y)成为度量空间(实际上是八的一个子空间)•欲证C是完备度量空问，先证Th1完备度量空间X的子空间M是完备度量空间oM是X屮的闭子空间.证明设M是完备子空］'可，对每个xwAT,3M屮点列比｝爲，使兀―厂所以&”｝為是M中柯西点列.
12、所以它在M中收敛由极限的唯…性，所以xeM・所以M'uM・即M是X）
13、i的闭子空间.反之，若｛叮爲是M屮柯西点列，因X是完备度量空］'可，贝U在X屮收敛.即3xeX,s.t.因为M是X屮的闭子空间，所以xeM,所以｛兀｝爲在M屮收敛于是M是完备度量空间.例2的证明由Th1只证C是广i
14、啲闭子空问即可・VX=（g［,&2,…）W（要证,从而xwC）,m兀二（护），券），…）wCS=l,2,…），s.t.£TX・所以Ve>0,3NgN,s・t•当n>NWi,成立I纱）—©I型p好）—©I胡兀“）詣.特别取n=N,贝IJ对巧wN,成立
15、^V）-^
16、<-•因为"C,所以兰u->oo吋，收敛•故m
17、ywN,s.t.v几kny吋，成立即-即I詣.所以处邛吋，成立勺一蔚电_骅）
18、+即一骅）
19、+膚）一胡<彳+彳+彳=£.所以｛爲二是柯西数列，因而收敛所以"低6,…）WC.所以C是严屮的闭子空间.由Thl,C是完备度量空间.证毕.作业：P206.14.15中的S,B（A）.作业题解：14£二1,mNwN,s.t.当m.n>N吋，有v1,特别当〃>N时,有d（兀"n+i）<1・又n£N时,〃（兀"，兀N+J只有有限个值故BM>0,s.t.d（xlt,xN+｝）20、5设｛xn寵是S小的柯西点列’兀二（卽,勒），…）.即W〉0,mNwN,s.t.Vm,n>N吋，成立对于每个固定的36•:0<£<丄丄，然后由这个占，按不等式（％）,37VeN.所以0加,/?〉N吋,对这个固定的£,所以凰"）-加）
21、<<7（心〉N）.所以化」二是实（复）数集屮的柯西点列.而实（复）数集完备，所以｛出｝二收敛，设卽t.StQ.记兀=（匚爲,…）,则兀“》・Mxg5,所以S完备.设Id爲是B⑷中的柯西点列,xn=f„（
