应用泛函分析教案2new

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时间:2018-09-21

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1、§4柯西点列和完备度量空间教学内容(或课题):目的要求:掌握柯西点列、完备度量空间的概念,学会使用概念和完备度量空间的充要条件判别完备度量空间.教学过程:设是中的点列,若0,,s.t.当时,有=,则称是中的柯西点列.Def1设=(,)是度量空间,是中的点列.若0,,s.t.当时,有,则称是中的柯西点列或基本点列.若度量空间(,)中每个柯西点列都收敛,则称(,)是完备的度量空间.有理数的全体按绝对值距离构成的空间不完备,如点列1,1.4,1,41,在中收敛于,在有理数集中不收敛.但度量空间中每一个

2、收敛点列都是柯西点列.实因若,则0,,s.t.当时,都有.因此当时,有++.所以是柯西点列.例2(表有界实或复数列全体)是完备度量空间.证明设是中的柯西点列,其中=.0,,s.t.当时,都有=(1)因此对每个固定的,当时,成立42(2)于是,是柯西数列.由于实数集或复数集按差的绝对值定义距离是完备的,故存在实或复数,s.t.()令=,往证且.在(2)中,令,得时,成立(3)因为=,所以0,s.t.,成立(不同的数列,界可能不一样).所以+.所以.由(3)知,时,成立.所以.所以是完备度量空间.例

3、2令表示所有收敛的实或复数列的全体,=,=,令=.则0且=时,=0.又==0=().于是=0=.=,则由于对,成立++=+.所以+.即+.所以可定义为中两点间的距离.于是按距离成为度量空间(实际上是的一个子空间).欲证是完备度量空间,先证42Th1完备度量空间的子空间是完备度量空间是中的闭子空间.证明设是完备子空间,对每个,中点列,使.所以是中柯西点列.所以它在中收敛.由极限的唯一性,所以.所以.即是中的闭子空间.反之,若是中柯西点列,因是完备度量空间,则在中收敛.即,s.t..因为是中的闭子空

4、间,所以,所以在中收敛.于是是完备度量空间.例2的证明由Th1只证是中的闭子空间即可.=(要证,从而),=(),s.t..所以0,,s.t.当时,成立=.特别取,则对,成立.因为,所以当时,收敛.故,s.t.,时,成立.所以,时,成立++++=.所以是柯西数列,因而收敛.所以=.所以是中的闭子空间.由Th1,是完备度量空间.证毕.作业:206.14.15中的.42作业题解:14=1,,s.t.当时,有1,特别当时,有1.又时,只有有限个值故0,s.t..因此,成立+.所以是有界点列.15设是中的

5、柯西点列,=.即0,,s.t.时,成立=()所以,时,成立.因为给0,对于每个固定的,:0,然后由这个,按不等式(),.所以时,对这个固定的,成立.所以().所以是实(复)数集中的柯西点列.而实(复)数集完备,所以收敛,设().记=,则.而,所以完备.设是中的柯西点列,=,.0,,s.t.当时,成立.所以及,成立42.()因此在集上,函数列收敛,设.由()式,令得时,.所以时,++(由于收敛,从而存在).所以,又已证所以是完备度量空间.柯西点列和完备度量空间(续)教学内容(或课题):目的要求:再

6、次巩固上次课学习的概念与定理,进一步掌握使用概念及定理判别完备度量空间的常用方法.教学过程:是完备的度量空间.证明设,是中的柯西点列.0,,s.t.当时,成立.(4)所以,有.于是当固定时,是柯西数列.由实(复)数集的完备性,,s.t..往证,实因在(4)中令,得知时,成立.(5)所以在42上一致收敛于,从而.由(5),当时,=.所以,故是完备度量空间.令表示闭区间上实系数多项式全体,作为的子空间是不完备的度量空间.实因多项式列在闭区间上一致收敛于连续的指数函数,但非多项式.即不是的闭子空间.由

7、Th1,不是完备度量空间.证毕.设表示闭区间上连续函数全体,对,令=.易知成为度量空间.实因显然0.若时,,从而=0.反之若=0,即=0.因0,故=于.又因相等的连续函数必然处处相等,故.总之0且=0.=+=+.所以是度量空间.例5上面定义的度量空间不完备.42证明令=先证是中的柯西点列.实因,当时,===.所以点列是中的柯西点列.再证点列在中不收敛.实因对每个,==++.若0,必有==0.但由于在闭区间上连续,得在恒为0,在恒为1.42与在=间断相矛盾.故是不完备的度量空间.作业:206.15

8、.、离散空间.作业解答:设是中的基本点列,0,有=.0,,s.t.,,有.从而.所以0.由此可找到自然数列:,s.t.对都成立.记=,再令=,则-=,=.令,得=0.所以=.显见在上处处收敛于一个极限函数,记这个极限函数为.令=则为上的可测函数,故.当时,由42=,令,由勒贝格有界收敛定理,得.所以.故是完备的度量空间.§5.度量空间的完备化教学内容(或课题):目的要求:使学生掌握度量空间的完备化定理的条件、结论及其证明方法.教学过程:Der1设(,),(,)是两个度量空间,若存在到上的保距映照

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